Identitas Fungsi Logaritma

Memisahkan dan Menggabungkan Suku Logaritma

Identitas logaritma mengubah perkalian menjadi penjumlahan, pembagian menjadi pengurangan, dan pangkat menjadi koefisien. Gunakan identitas ini untuk memisahkan satu logaritma menjadi beberapa suku atau menggabungkan beberapa suku menjadi satu logaritma.

Logaritma adalah operasi kebalikan dari perpangkatan. Jika $b^x = a$ , maka $\log_b a = x$ . Setiap contoh berikut memakai argumen logaritma positif dan basis yang memenuhi $b>0$ serta $b\neq1$ .

Identitas Dasar Logaritma

Kalau suatu bentuk memuat perkalian, pembagian, atau pangkat, salah satu aturan ini memecahnya menjadi logaritma terpisah lebih dahulu. Setelah itu nilainya sering bisa dihitung langsung.

Identitas berikut adalah yang pertama kamu pakai.

Identitas Perkalian

\log_b(MN) = {\log_b M} + {\log_b N}

Logaritma dari perkalian sama dengan penjumlahan logaritma masing-masing bilangan.

Contoh:

\begin{aligned} \log_2(8 \times 4) &= {\log_2 8} + {\log_2 4} \\ &= 3 + 2 \\ &= 5 \end{aligned}

Identitas Pembagian

\log_b\left(\frac{M}{N}\right) = {\log_b M} - {\log_b N}

Logaritma dari pembagian sama dengan pengurangan logaritma pembilang dengan logaritma penyebut.

Contoh:

\begin{aligned} \log_3\left(\frac{81}{9}\right) &= {\log_3 81} - {\log_3 9} \\ &= 4 - 2 \\ &= 2 \end{aligned}

Identitas Perpangkatan

\log_b(M^p) = p \cdot {\log_b M}

Logaritma dari suatu bilangan berpangkat sama dengan pangkat dikali logaritma bilangan tersebut.

Contoh:

\log_2(4^3) = 3 \cdot {\log_2 4} = 3 \times 2 = 6

Identitas Khusus Logaritma

Setiap aturan berikut menyebut syarat berlakunya sebelum menunjukkan bentuk ubahannya. Periksa basis dan argumennya dulu sebelum kamu memakai aturannya.

Sebagian identitas hanya berlaku untuk basis tertentu atau argumen tertentu.

Perubahan Basis

\log_b M = \frac{\log_a M}{\log_a b}

Gunakan identitas ini untuk menulis ulang logaritma dalam basis yang tersedia atau lebih mudah dihitung.

Contoh:

Karena $9=3^2$ , pembilangnya tepat dua kali penyebutnya:

\log_3 9 = \frac{\log_{10} 9}{\log_{10} 3} = \frac{2\log_{10}3}{\log_{10}3} = 2

Identitas Kesamaan

Jika $\log_b M = {\log_b N}$ , maka $M = N$

Dua bilangan yang memiliki nilai logaritma sama (dengan basis sama) pasti merupakan bilangan yang sama. Sebagai contoh, $\log_2 8 = \log_2 2^3$ dan kedua ruas bernilai $3$ , sehingga angka $8$ dan $2^3$ memang sama. Aturan ini berlaku karena setiap nilai logaritma dengan basis tetap berasal dari tepat satu angka.

Membandingkan Dua Logaritma

Identitas ini menghubungkan tanda logaritma dengan posisi argumennya terhadap basis, dan itulah yang kamu butuhkan saat logaritma muncul di dalam ketaksamaan.

Jika $b > 1$ dan $\log_b M < {\log_b N}$ , maka $M < N$
Jika $0 < b < 1$ dan $\log_b M < {\log_b N}$ , maka $M > N$

Penerapan Identitas Logaritma

Di sini identitas bertemu bentuk aljabar, jadi bentuknya harus dirapikan lebih dahulu. Kerjakan bertahap dan tuliskan identitas yang kamu pakai pada setiap langkah.

Identitas ini berguna saat suatu bentuk harus disederhanakan sebelum bisa diselesaikan.

Menyederhanakan Ekspresi

Sederhanakan $\log_2 32 + {\log_2 8} - {\log_2 4}$

Penyelesaian:

\log_2 32 + {\log_2 8} - {\log_2 4}

Menyelesaikan Persamaan

Tentukan nilai $x$ jika $\log_3 x + {\log_3 9} = {\log_3 81}$

Penyelesaian:

\log_3 x + {\log_3 9} = {\log_3 81}

Penerapan dalam Model

Dalam model, besaran yang dicari berada di posisi pangkat, dan logaritma menurunkannya. Contoh berikut menunjukkan identitas mana yang dibutuhkan pada setiap soal.

Identitas logaritma juga muncul saat model memuat pertumbuhan atau peluruhan eksponensial.

Skala Magnitudo Logaritmik

Dalam model magnitudo sederhana, amplitudo gelombang seismik terukur $A$ dibandingkan dengan amplitudo acuan $A_0$ :

M = \log\left(\frac{A}{A_0}\right)

Keterangan:

$M$ adalah magnitudo dalam model sederhana ini
$A$ adalah amplitudo terukur
$A_0$ adalah amplitudo acuan

Contoh: Misalkan amplitudo terukur bernilai $10^7$ kali amplitudo acuan. Berapa magnitudo yang diberikan oleh model sederhana tersebut?

Penyelesaian:

M = \log\left(\frac{A}{A_0}\right)

Rasio amplitudo tersebut setara dengan magnitudo $7$ dalam model sederhana ini. Perhitungan magnitudo gempa sebenarnya juga memperhitungkan instrumen, jenis gelombang, dan jarak sumber.

Pengisian Baterai

Dalam model pengisian orde pertama yang disederhanakan, waktu untuk mencapai suatu bagian dari kapasitas maksimum adalah:

t = -\frac{1}{k}\ln\left(1 - \frac{C}{C_0}\right)

Keterangan:

$t$ = waktu pengisian (dalam menit)
$k$ = konstanta pengisian
$C$ = kapasitas yang diinginkan
$C_0$ = kapasitas maksimum

Contoh: Tentukan waktu yang diperlukan untuk mengisi daya baterai yang dayanya kosong menjadi $90\%$ penuh. Anggap $k = 0{,}02$ .

Penyelesaian:

t = -\frac{1}{k}\ln\left(1 - \frac{C}{C_0}\right)

Dalam model sederhana ini, pengisian hingga $90\%$ memerlukan sekitar $115 \text{ menit}$ . Sistem pengisian nyata dapat mengubah lajunya saat kapasitas hampir penuh.

Depresiasi Harga Mobil

Jika laju penurunan nilai sesaat sebanding dengan nilai mobil saat itu, model eksponensialnya berbentuk:

H(t) = ce^{kt}

Pada model ini, $H(t)$ adalah nilai mobil pada waktu $t$ .

Contoh: Harga mobil baru adalah $200 \text{ juta rupiah}$ dan nilai dalam model setelah $5 \text{ tahun}$ menjadi $100 \text{ juta rupiah}$ . Jika laju penurunan eksponensial yang sama berlanjut, tentukan nilai dalam model setelah $10 \text{ tahun}$ .

Penyelesaian:

Nyatakan $H(t)$ dalam juta rupiah dan $t$ dalam tahun. Saat pembelian:

\begin{aligned} &H(0)=200 \\ &200=ce^0=c \end{aligned}

Dari hasil tersebut, diperoleh harga mobil setiap saat $t$ adalah:

H(t) = 200e^{\frac{\ln(1/2)}{5}t} \approx 200e^{-0{,}1386t}

Jadi, harga mobil setelah $10 \text{ tahun}$ digunakan adalah:

\begin{aligned} H(10) &= 200e^{2\ln(1/2)} \\ &= 200\left(\frac{1}{2}\right)^2 \\ &= 50 \text{ juta rupiah} \end{aligned}

Latihan

Tiga soal berikut membutuhkan bentuk ubahan yang berbeda, jadi tuliskan dulu aturan yang kamu perlukan sebelum menghitung. Setelah itu bandingkan langkahmu dengan langkah pada pembahasan.

Soal 1

Sederhanakan: $\log_5 125 + {\log_5 25} - {\log_5 5}$

Soal 2

Jika $\log_2 x = 3$ dan $\log_2 y = 5$ , tentukan nilai $\log_2(xy)$

Soal 3

Tentukan nilai $x$ jika $\log_4(x-1) = {\log_4 16} - {\log_4 2}$

Pembahasan

Jawaban $1$

Setiap bilangan merupakan pangkat dari $5$ . Hitung ketiga logaritma sebelum menggabungkannya:

125=5^3,\quad25=5^2,\quad5=5^1

Nilai bentuk yang telah disederhanakan adalah $4$ .

Jawaban $2$

Gunakan identitas perkalian karena bentuk yang ditanyakan memuat $xy$ :

\log_2(xy) = {\log_2 x} + {\log_2 y}

Jadi, $\log_2(xy)=8$ .

Jawaban $3$

Gunakan identitas pembagian di ruas kanan, lalu gunakan kesamaan dua logaritma dengan basis yang sama:

\log_4(x-1) = {\log_4 16} - {\log_4 2}

Logaritma mensyaratkan $x-1>0$ . Karena $9-1=8>0$ , penyelesaiannya valid.

Memisahkan dan Menggabungkan Suku Logaritma

Logaritma adalah operasi kebalikan dari perpangkatan. Jika $b^x = a$ , maka $\log_b a = x$ . Setiap contoh berikut memakai argumen logaritma positif dan basis yang memenuhi $b>0$ serta $b\neq1$ .

Identitas Dasar Logaritma

Kalau suatu bentuk memuat perkalian, pembagian, atau pangkat, salah satu aturan ini memecahnya menjadi logaritma terpisah lebih dahulu. Setelah itu nilainya sering bisa dihitung langsung.

Identitas berikut adalah yang pertama kamu pakai.

Identitas Perkalian

\log_b(MN) = {\log_b M} + {\log_b N}

Logaritma dari perkalian sama dengan penjumlahan logaritma masing-masing bilangan.

Contoh:

\begin{aligned} \log_2(8 \times 4) &= {\log_2 8} + {\log_2 4} \\ &= 3 + 2 \\ &= 5 \end{aligned}

Identitas Pembagian

\log_b\left(\frac{M}{N}\right) = {\log_b M} - {\log_b N}

Logaritma dari pembagian sama dengan pengurangan logaritma pembilang dengan logaritma penyebut.

Contoh:

\begin{aligned} \log_3\left(\frac{81}{9}\right) &= {\log_3 81} - {\log_3 9} \\ &= 4 - 2 \\ &= 2 \end{aligned}

Identitas Perpangkatan

\log_b(M^p) = p \cdot {\log_b M}

Logaritma dari suatu bilangan berpangkat sama dengan pangkat dikali logaritma bilangan tersebut.

Contoh:

\log_2(4^3) = 3 \cdot {\log_2 4} = 3 \times 2 = 6

Identitas Khusus Logaritma

Setiap aturan berikut menyebut syarat berlakunya sebelum menunjukkan bentuk ubahannya. Periksa basis dan argumennya dulu sebelum kamu memakai aturannya.

Sebagian identitas hanya berlaku untuk basis tertentu atau argumen tertentu.

Perubahan Basis

\log_b M = \frac{\log_a M}{\log_a b}

Gunakan identitas ini untuk menulis ulang logaritma dalam basis yang tersedia atau lebih mudah dihitung.

Contoh:

Karena $9=3^2$ , pembilangnya tepat dua kali penyebutnya:

\log_3 9 = \frac{\log_{10} 9}{\log_{10} 3} = \frac{2\log_{10}3}{\log_{10}3} = 2

Identitas Kesamaan

Jika $\log_b M = {\log_b N}$ , maka $M = N$

Membandingkan Dua Logaritma

Identitas ini menghubungkan tanda logaritma dengan posisi argumennya terhadap basis, dan itulah yang kamu butuhkan saat logaritma muncul di dalam ketaksamaan.

Jika $b > 1$ dan $\log_b M < {\log_b N}$ , maka $M < N$
Jika $0 < b < 1$ dan $\log_b M < {\log_b N}$ , maka $M > N$

Penerapan Identitas Logaritma

Di sini identitas bertemu bentuk aljabar, jadi bentuknya harus dirapikan lebih dahulu. Kerjakan bertahap dan tuliskan identitas yang kamu pakai pada setiap langkah.

Identitas ini berguna saat suatu bentuk harus disederhanakan sebelum bisa diselesaikan.

Menyederhanakan Ekspresi

Sederhanakan $\log_2 32 + {\log_2 8} - {\log_2 4}$

Penyelesaian:

\log_2 32 + {\log_2 8} - {\log_2 4}

Menyelesaikan Persamaan

Tentukan nilai $x$ jika $\log_3 x + {\log_3 9} = {\log_3 81}$

Penyelesaian:

\log_3 x + {\log_3 9} = {\log_3 81}

Penerapan dalam Model

Dalam model, besaran yang dicari berada di posisi pangkat, dan logaritma menurunkannya. Contoh berikut menunjukkan identitas mana yang dibutuhkan pada setiap soal.

Identitas logaritma juga muncul saat model memuat pertumbuhan atau peluruhan eksponensial.

Skala Magnitudo Logaritmik

Dalam model magnitudo sederhana, amplitudo gelombang seismik terukur $A$ dibandingkan dengan amplitudo acuan $A_0$ :

M = \log\left(\frac{A}{A_0}\right)

Keterangan:

$M$ adalah magnitudo dalam model sederhana ini
$A$ adalah amplitudo terukur
$A_0$ adalah amplitudo acuan

Contoh: Misalkan amplitudo terukur bernilai $10^7$ kali amplitudo acuan. Berapa magnitudo yang diberikan oleh model sederhana tersebut?

Penyelesaian:

M = \log\left(\frac{A}{A_0}\right)

Rasio amplitudo tersebut setara dengan magnitudo $7$ dalam model sederhana ini. Perhitungan magnitudo gempa sebenarnya juga memperhitungkan instrumen, jenis gelombang, dan jarak sumber.

Pengisian Baterai

Dalam model pengisian orde pertama yang disederhanakan, waktu untuk mencapai suatu bagian dari kapasitas maksimum adalah:

t = -\frac{1}{k}\ln\left(1 - \frac{C}{C_0}\right)

Keterangan:

$t$ = waktu pengisian (dalam menit)
$k$ = konstanta pengisian
$C$ = kapasitas yang diinginkan
$C_0$ = kapasitas maksimum

Contoh: Tentukan waktu yang diperlukan untuk mengisi daya baterai yang dayanya kosong menjadi $90\%$ penuh. Anggap $k = 0{,}02$ .

Penyelesaian:

t = -\frac{1}{k}\ln\left(1 - \frac{C}{C_0}\right)

Dalam model sederhana ini, pengisian hingga $90\%$ memerlukan sekitar $115 \text{ menit}$ . Sistem pengisian nyata dapat mengubah lajunya saat kapasitas hampir penuh.

Depresiasi Harga Mobil

Jika laju penurunan nilai sesaat sebanding dengan nilai mobil saat itu, model eksponensialnya berbentuk:

H(t) = ce^{kt}

Pada model ini, $H(t)$ adalah nilai mobil pada waktu $t$ .

Penyelesaian:

Nyatakan $H(t)$ dalam juta rupiah dan $t$ dalam tahun. Saat pembelian:

\begin{aligned} &H(0)=200 \\ &200=ce^0=c \end{aligned}

Dari hasil tersebut, diperoleh harga mobil setiap saat $t$ adalah:

H(t) = 200e^{\frac{\ln(1/2)}{5}t} \approx 200e^{-0{,}1386t}

Jadi, harga mobil setelah $10 \text{ tahun}$ digunakan adalah:

\begin{aligned} H(10) &= 200e^{2\ln(1/2)} \\ &= 200\left(\frac{1}{2}\right)^2 \\ &= 50 \text{ juta rupiah} \end{aligned}

Latihan

Tiga soal berikut membutuhkan bentuk ubahan yang berbeda, jadi tuliskan dulu aturan yang kamu perlukan sebelum menghitung. Setelah itu bandingkan langkahmu dengan langkah pada pembahasan.

Soal 1

Sederhanakan: $\log_5 125 + {\log_5 25} - {\log_5 5}$

Soal 2

Jika $\log_2 x = 3$ dan $\log_2 y = 5$ , tentukan nilai $\log_2(xy)$

Soal 3

Tentukan nilai $x$ jika $\log_4(x-1) = {\log_4 16} - {\log_4 2}$

Pembahasan

Jawaban $1$

Setiap bilangan merupakan pangkat dari $5$ . Hitung ketiga logaritma sebelum menggabungkannya:

125=5^3,\quad25=5^2,\quad5=5^1

Nilai bentuk yang telah disederhanakan adalah $4$ .

Jawaban $2$

Gunakan identitas perkalian karena bentuk yang ditanyakan memuat $xy$ :

\log_2(xy) = {\log_2 x} + {\log_2 y}

Jadi, $\log_2(xy)=8$ .

Jawaban $3$

Gunakan identitas pembagian di ruas kanan, lalu gunakan kesamaan dua logaritma dengan basis yang sama:

\log_4(x-1) = {\log_4 16} - {\log_4 2}

Logaritma mensyaratkan $x-1>0$ . Karena $9-1=8>0$ , penyelesaiannya valid.