Konsep Fungsi Logaritma

Menentukan Pangkat yang Menghasilkan Suatu Nilai

Logaritma menjawab satu pertanyaan khusus: pangkat berapa yang menghasilkan suatu nilai? Karena itu, fungsi logaritma dan fungsi eksponensial saling membalikkan.

Mulailah dari persamaan eksponensial berikut:

Pangkat yang mengubah $2$ menjadi $8$ adalah $3$. Notasi logaritma mencatat hubungan yang sama dari arah sebaliknya:

Secara umum, notasi eksponensial dan logaritma berhubungan melalui:

Definisi dan Jenis Logaritma

Fungsi logaritma dengan basis $b$ (dengan syarat $b > 0$ dan $b \neq 1$) dinyatakan sebagai:

Tiga basis berikut sangat sering digunakan:

1. Logaritma Umum (basis $10$): $f(x) = \log x$

   Contoh: $\log 100 = 2$ karena $10^2 = 100$

2. Logaritma Natural (basis $e \approx 2{,}7183$): $f(x) = \ln x$

   Contoh: $\ln e = 1$ karena $e^1 = e$

3. Logaritma Biner (basis $2$): $f(x) = \log_2 x$

   Contoh: $\log_2 8 = 3$ karena $2^3 = 8$

Grafik Fungsi Logaritma

Karakteristik grafik $f(x) = \log_b x$ dengan $b > 1$:

• Domain: $x > 0$ (hanya bilangan positif)
• Range: Semua bilangan real
• Titik potong sumbu $x$: $(1, 0)$
• Asimtot vertikal: Sumbu $y$ ($x = 0$)
• Fungsi naik untuk $b > 1$

Sifat Logaritma

Sifat-sifat berikut mengikuti definisi logaritma sebagai kebalikan fungsi eksponensial. Sebagian identitas langsung terbaca dari definisi itu, sedangkan identitas lain dipakai untuk menulis ulang satu bentuk menjadi bentuk yang lebih mudah dihitung. Mengetahui asal setiap identitas membantumu memilih yang tepat tanpa menghafal daftarnya.

Membaca Satu Logaritma

Identitas berikut langsung mengikuti definisinya, dan setiap identitas punya pasangan pada sifat perpangkatan.

Sifat Operasi

Aturan berikut menulis ulang logaritma dari perkalian, pembagian, atau pangkat menjadi suku-suku terpisah.

Model Eksponensial dari Dua Titik Data

Kementerian Kesehatan RI melaporkan dua kasus terkonfirmasi COVID-19 pada $2$ Maret $2020$.

Pada $30$ April $2020$, kementerian tersebut melaporkan bahwa jumlah kumulatif kasus terkonfirmasi mencapai $10{.}118$.

Kedua tanggal tersebut berjarak $59\ \text{hari}$.

Untuk berlatih menggunakan logaritma, kita dapat mencocokkan kurva eksponensial sederhana dengan dua nilai laporan tersebut. Misalkan $t$ menyatakan banyak hari yang telah berlalu sejak 2 Maret dan $P(t)$ menyatakan jumlah kasus pada kurva. Karena $P(0)=2$ dan $P(59)=10{.}118$, modelnya adalah:

Jika laju pada kurva tersebut diteruskan, logaritma menempatkan ambang $50{.}000$ pada:

Perhitungan ini menggunakan logaritma untuk menyelesaikan model eksponensial. Jumlah kasus terkonfirmasi di dunia nyata juga dipengaruhi oleh pengujian, pelaporan, perilaku masyarakat, dan kebijakan kesehatan. Laju eksponensial tetap hanya berguna selama asumsinya masih sesuai dengan keadaan.

Latihan

Empat soal ini bergerak dari membaca satu logaritma sampai menyelesaikan model eksponensial. Kerjakan setiap soal sebelum membaca penyelesaian, lalu bandingkan jawabanmu dengan langkah yang menyusul.

1. Tentukan nilai $\log_3 27$, $\log_5 \frac{1}{125}$, dan $\ln e^3$.

2. Jika $\log_2 x = 4$, tentukan nilai $x$.

3. Sederhanakan: $\log_2 8 + \log_2 4 - \log_2 2$

4. Sebuah investasi tumbuh mengikuti rumus $A = 1000 \cdot 2^t$ (dalam juta rupiah). Berapa tahun yang dibutuhkan agar investasi menjadi $8 \text{ miliar}$ rupiah?

Pembahasan

1. Baca setiap logaritma sebagai pertanyaan tentang pangkat. Pangkat yang diperlukan adalah:

   $$3^3=27\quad\Longrightarrow\quad\log_3 27=3$$

   $$5^{-3}=\frac{1}{125}\quad\Longrightarrow\quad\log_5\frac{1}{125}=-3$$

   $$e^3=e^3\quad\Longrightarrow\quad\ln e^3=3$$

2. Ubah persamaan logaritma ke bentuk eksponensial:

   $$\log_2 x=4\quad\Longleftrightarrow\quad x=2^4=16$$

   Substitusi $x=16$ menghasilkan $\log_2 16=4$, sehingga hasilnya benar.

3. Hitung dahulu tiga pangkat berbasis $2$, kemudian gabungkan hasilnya:

   $$\begin{aligned} &\log_2 8+\log_2 4-\log_2 2 \\ &=3+2-1 \\ &=4 \end{aligned}$$

4. Rumus menyatakan $A$ dalam juta rupiah, sehingga $8 \text{ miliar rupiah}=8000 \text{ juta rupiah}$. Substitusikan target tersebut, lalu pisahkan suku eksponensialnya:

   $$8000=1000\cdot2^t$$

   $$8=2^t$$

   $$2^3=2^t\quad\Longrightarrow\quad t=3$$

   Investasi mencapai target setelah $3 \text{ tahun}$.