Pemodelan Fungsi Piecewise

Kapan Memakai Fungsi Piecewise?

Fungsi piecewise (fungsi sepotong-sepotong) dipakai ketika satu situasi tidak cukup dijelaskan oleh satu rumus. Domainnya dibagi menjadi beberapa interval, lalu setiap interval memakai aturan sendiri.

Misalnya, biaya listrik bisa murah untuk pemakaian awal, lalu lebih mahal setelah melewati batas tertentu. Batas seperti ini menjadi tanda bahwa modelnya perlu ditulis per potongan.

Definisi Matematika

Fungsi piecewise dapat ditulis dalam bentuk:

f(x) = \begin{cases} f_1(x), & \text{jika } x \in D_1 \\ f_2(x), & \text{jika } x \in D_2 \\ f_3(x), & \text{jika } x \in D_3 \\ \vdots \\ f_n(x), & \text{jika } x \in D_n \end{cases}

dengan $D_1, D_2, D_3, \ldots, D_n$ adalah interval-interval yang membentuk partisi dari domain fungsi.

Saat membaca atau membuat fungsi piecewise, perhatikan tiga hal berikut:

Rumus pada setiap baris.
Syarat interval yang menentukan kapan rumus itu dipakai.
Nilai fungsi di titik sambung, terutama ketika batas interval memakai $\lt$ , $\leq$ , $\gt$ , atau $\geq$ .

Bentuk Potongan yang Sering Dipakai

Potongan Linear

Fungsi piecewise linear memakai fungsi linear pada setiap interval. Bentuk ini sering muncul ketika perubahan berlangsung dengan laju tetap, tetapi lajunya berubah setelah melewati titik tertentu.

Fungsi Piecewise Linear

Contoh fungsi piecewise linear dengan tiga potongan berbeda.

Fungsi di atas dapat ditulis sebagai:

f(x) = \begin{cases} 2x + 3, & \text{jika } -2 \leq x < 0 \\ -x + 3, & \text{jika } 0 \leq x < 2 \\ 0.5x, & \text{jika } x \geq 2 \end{cases}

Perhatikan bahwa tiga baris pada rumus itu bukan tiga fungsi yang terpisah. Ketiganya bekerja sebagai satu fungsi, tetapi pilihan rumusnya bergantung pada nilai $x$ .

Potongan Kuadratik

Fungsi piecewise juga bisa memakai potongan kuadratik. Ini berguna ketika salah satu bagian model berubah melengkung, bukan mengikuti garis lurus.

Fungsi Piecewise Kombinasi

Kombinasi fungsi kuadratik dan linear dalam satu fungsi piecewise.

Titik Sambung dan Kontinuitas

Sambungan Tanpa Lompatan

Fungsi piecewise kontinu jika grafiknya tidak melompat di titik sambung. Nilai dari kiri, nilai dari kanan, dan nilai fungsi di titik itu harus sama.

Syarat kontinuitas di titik $x = c$ :

\lim_{x \to c^-} f(x) = \lim_{x \to c^+} f(x) = f(c)

Contoh fungsi piecewise kontinu:

f(x) = \begin{cases} x + 1, & \text{jika } x < 2 \\ 3, & \text{jika } x = 2 \\ 5 - x, & \text{jika } x > 2 \end{cases}

Untuk kontinu di $x = 2$ :

$\lim_{x \to 2^-} (x + 1) = 3$
$\lim_{x \to 2^+} (5 - x) = 3$
$f(2) = 3$

Sambungan dengan Lompatan

Fungsi piecewise diskontinu memiliki "lompatan" atau "lubang" pada titik-titik tertentu.

Fungsi Piecewise Diskontinu

Contoh fungsi dengan diskontinuitas lompat di

x = 1

Pemodelan dengan Fungsi Piecewise

Tarif Progresif

Banyak situasi nyata dapat dimodelkan dengan fungsi piecewise karena aturannya berubah setelah melewati batas tertentu. Tarif pajak progresif, biaya parkir bertingkat, dan tarif listrik bertingkat adalah contoh yang mudah dilihat.

Contoh: Tarif Listrik

Perusahaan listrik menerapkan tarif bertingkat:

$0\text{-}50 \text{ kWh}$ : $\text{Rp }1.000/\text{kWh}$
$51\text{-}100 \text{ kWh}$ : $\text{Rp }1.500/\text{kWh}$
$>100 \text{ kWh}$ : $\text{Rp }2.000/\text{kWh}$

Model matematikanya:

C(x) = \begin{cases} 1000x, & \text{jika } 0 \leq x \leq 50 \\ 50000 + 1500(x-50), & \text{jika } 50 < x \leq 100 \\ 125000 + 2000(x-100), & \text{jika } x > 100 \end{cases}

Angka $50.000$ pada baris kedua berasal dari biaya $50 \text{ kWh}$ pertama. Angka $125.000$ pada baris ketiga berasal dari biaya sampai $100 \text{ kWh}$ pertama. Dengan cara ini, biaya tidak mulai dari nol lagi setiap masuk interval baru.

Tabel biaya listrik:

Pemakaian (kWh)	$30$	$50$	$75$	$100$	$150$
Biaya (Rp)	$30.000$	$50.000$	$87.500$	$125.000$	$225.000$

Kecepatan Bertahap

Contoh: Perjalanan Multi-Moda

Seseorang melakukan perjalanan dengan:

Berjalan kaki: $5 \text{ km/jam}$ selama $0{,}5 \text{ jam}$
Naik sepeda: $15 \text{ km/jam}$ selama $1 \text{ jam}$
Naik mobil: $60 \text{ km/jam}$ selama $0{,}5 \text{ jam}$

Fungsi jarak terhadap waktu:

s(t) = \begin{cases} 5t, & \text{jika } 0 \leq t \leq 0.5 \\ 2.5 + 15(t-0.5), & \text{jika } 0.5 < t \leq 1.5 \\ 17.5 + 60(t-1.5), & \text{jika } 1.5 < t \leq 2 \end{cases}

Konstanta $2.5$ dan $17.5$ menjaga agar jarak total terus bertambah dari posisi terakhir, bukan kembali ke $0$ saat moda transportasi berubah.

Menentukan Persamaan Fungsi Piecewise

Untuk menentukan persamaan fungsi piecewise dari grafik atau situasi:

Pisahkan domain berdasarkan batas ketika aturan berubah.
Tentukan rumus untuk setiap interval.
Periksa titik sambung agar tanda interval dan nilai fungsi tidak saling bertabrakan.
Tulis semua potongan dalam notasi piecewise.

Contoh:

Dari grafik yang menunjukkan:

Garis dengan kemiringan $2$ dari $x = -2$ hingga $x = 0$
Garis horizontal $y = 4$ dari $x = 0$ hingga $x = 2$
Garis dengan kemiringan $-1$ dari $x = 2$ hingga $x = 4$

Langkah penyelesaiannya bisa diringkas seperti ini:

Interval	Informasi grafik	Persamaan
$[-2, 0)$	Melalui $(-2, 0)$ dengan kemiringan $2$	$y = 2(x + 2) = 2x + 4$
$[0, 2)$	Garis horizontal	$y = 4$
$[2, 4]$	Melalui $(2, 4)$ dengan kemiringan $-1$	$y = -1(x - 2) + 4 = -x + 6$

Fungsi piecewise:

f(x) = \begin{cases} 2x + 4, & \text{jika } -2 \leq x < 0 \\ 4, & \text{jika } 0 \leq x < 2 \\ -x + 6, & \text{jika } 2 \leq x \leq 4 \end{cases}

Latihan

Tentukan nilai $f(1)$ , $f(3)$ , dan $f(5)$ untuk fungsi:

$f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{jika } x < 2 \\ 2x + 1, & \text{jika } 2 \leq x < 4 \\ 9, & \text{jika } x \geq 4 \end{cases}$
Sebuah perusahaan taksi online menerapkan tarif:

Tarif dasar adalah $\text{Rp }10.000$ untuk $2 \text{ km}$ pertama. Km $3\text{-}10$ dikenai $\text{Rp }4.000/\text{km}$ . Di atas $10 \text{ km}$ , tarif tambahannya menjadi $\text{Rp }3.000/\text{km}$ .

Buatlah model fungsi piecewise untuk total biaya!
Tentukan apakah fungsi berikut kontinu di $x = 1$ :

$g(x) = \begin{cases} 3x - 1, & \text{jika } x < 1 \\ 2, & \text{jika } x = 1 \\ x + 1, & \text{jika } x > 1 \end{cases}$
Sketsa grafik fungsi:

$h(x) = \begin{cases} -x + 2, & \text{jika } x < 0 \\ x^2, & \text{jika } 0 \leq x < 2 \\ 4, & \text{jika } x \geq 2 \end{cases}$
Seorang pekerja dibayar dengan sistem:

$8 \text{ jam}$ pertama dibayar $\text{Rp }50.000/\text{jam}$ . Lembur mulai jam ke- $9$ dibayar $\text{Rp }75.000/\text{jam}$ .

Jika maksimal kerja $12 \text{ jam/hari}$ , buatlah fungsi upah harian!

Kunci Jawaban

Menghitung nilai fungsi:

Untuk $f(1)$ : karena $1 < 2$ , gunakan $f(x) = x^2$

$f(1) = 1^2 = 1$

Untuk $f(3)$ : karena $2 \leq 3 < 4$ , gunakan $f(x) = 2x + 1$

$f(3) = 2(3) + 1 = 7$

Untuk $f(5)$ : karena $5 \geq 4$ , gunakan $f(x) = 9$

$f(5) = 9$
Model tarif taksi:

Misalkan $x$ adalah jarak dalam km, maka:
$C(x) = \begin{cases} 10000, & \text{jika } 0 < x \leq 2 \\ 10000 + 4000(x-2), & \text{jika } 2 < x \leq 10 \\ 10000 + 32000 + 3000(x-10), & \text{jika } x > 10 \end{cases}$
Atau disederhanakan:
$C(x) = \begin{cases} 10000, & \text{jika } 0 < x \leq 2 \\ 4000x + 2000, & \text{jika } 2 < x \leq 10 \\ 3000x + 12000, & \text{jika } x > 10 \end{cases}$
Memeriksa kontinuitas:

Di $x = 1$ :
$\lim_{x \to 1^-} g(x) = \lim_{x \to 1^-} (3x - 1) = 3(1) - 1 = 2$
Karena $\lim_{x \to 1^-} g(x) = \lim_{x \to 1^+} g(x) = g(1) = 2$ , maka fungsi kontinu di $x = 1$ .
Sketsa grafik $h(x)$ :

Grafik Fungsi $h(x)$
Fungsi piecewise dengan tiga bagian: linear menurun, kuadratik, dan konstan
Fungsi upah harian:

Misalkan $t$ adalah jam kerja, maka:
$U(t) = \begin{cases} 50000t, & \text{jika } 0 < t \leq 8 \\ 400000 + 75000(t-8), & \text{jika } 8 < t \leq 12 \end{cases}$
Atau disederhanakan:
$U(t) = \begin{cases} 50000t, & \text{jika } 0 < t \leq 8 \\ 75000t - 200000, & \text{jika } 8 < t \leq 12 \end{cases}$