Pemodelan Fungsi Piecewise

Situasi yang Cocok untuk Fungsi Piecewise

Fungsi piecewise (fungsi sepotong-sepotong) dipakai ketika satu situasi tidak cukup dijelaskan oleh satu rumus. Domainnya dibagi menjadi beberapa interval, lalu setiap interval memakai aturan sendiri.

Misalnya, biaya listrik bisa murah untuk pemakaian awal, lalu lebih mahal setelah melewati batas tertentu. Batas seperti ini menjadi tanda bahwa modelnya perlu ditulis per potongan.

Definisi Fungsi Piecewise

Fungsi piecewise dapat ditulis dalam bentuk:

Dalam definisi ini, $D_1, D_2, D_3, \ldots, D_n$ adalah interval yang membagi domain fungsi tanpa tumpang tindih.

Saat membaca atau membuat fungsi piecewise, perhatikan tiga hal berikut:

• Rumus pada setiap baris.
• Syarat interval yang menentukan kapan rumus itu dipakai.
• Nilai fungsi di titik sambung, terutama ketika batas interval memakai $\lt$, $\leq$, $\gt$, atau $\geq$.

Bentuk Potongan yang Sering Dipakai

Fungsi piecewise disusun dari potongan sederhana, dan setiap potongan punya aturannya sendiri pada selangnya. Potongan linear dan potongan kuadrat paling sering muncul, karena keduanya mudah dibaca dari syaratnya dan mudah digambar.

Potongan Linear

Fungsi piecewise linear memakai fungsi linear pada setiap interval. Bentuk ini sering muncul ketika perubahan berlangsung dengan laju tetap, tetapi lajunya berubah setelah melewati titik tertentu.

Fungsi di atas dapat ditulis sebagai:

Perhatikan bahwa tiga baris pada rumus itu bukan tiga fungsi yang terpisah. Ketiganya bekerja sebagai satu fungsi, tetapi pilihan rumusnya bergantung pada nilai $x$.

Potongan Kuadratik

Fungsi piecewise juga bisa memakai potongan kuadratik. Potongan kuadratik dapat menggambarkan bagian model yang melengkung.

Titik Sambung dan Kontinuitas

Di setiap batas selang ada dua aturan yang bertemu, dan grafiknya bisa memiliki lubang atau lompatan di sana.

Potongan-potongannya bertemu di batas selang, dan apa yang terjadi di sana menentukan apakah fungsinya kontinu.

Sambungan Tanpa Lompatan

Fungsi piecewise kontinu jika grafiknya tidak melompat di titik sambung. Nilai dari kiri, nilai dari kanan, dan nilai fungsi di titik itu harus sama.

Syarat kontinuitas di titik $x = c$:

Contoh fungsi piecewise kontinu:

Untuk kontinu di $x = 2$:

• $\lim_{x \to 2^-} (x + 1) = 3$
• $\lim_{x \to 2^+} (5 - x) = 3$
• $f(2) = 3$

Sambungan dengan Lompatan

Fungsi piecewise diskontinu memiliki "lompatan" atau "lubang" pada titik-titik tertentu.

Sebagai contoh, dua aturan berikut bertemu di $x=1$, tetapi mendekati nilai keluaran yang berbeda:

Pemodelan dengan Fungsi Piecewise

Situasi yang berganti aturan pada suatu ambang cocok dimodelkan dengan fungsi piecewise. Tarif progresif dan kecepatan bertahap sama-sama mengganti aturannya di satu titik yang bisa kamu sebut, dan titik itu menjadi batas antara dua potongan.

Tarif Progresif

Fungsi sepotong-sepotong memodelkan aturan yang berubah pada batas tertentu. Pajak progresif, biaya parkir bertingkat, dan tarif listrik bertingkat memakai aturan berbeda setelah nilai input melewati suatu batas.

Contoh: Tarif Listrik

Perusahaan listrik menerapkan tarif bertingkat:

• $0\leq x\leq50$ kWh: $\text{Rp }1{.}000/\text{kWh}$
• $50<x\leq100$ kWh: $\text{Rp }1{.}500/\text{kWh}$
• $x>100$ kWh: $\text{Rp }2{.}000/\text{kWh}$

Model matematikanya:

Angka $50{.}000$ pada baris kedua berasal dari biaya $50 \text{ kWh}$ pertama. Angka $125{.}000$ pada baris ketiga berasal dari biaya sampai $100 \text{ kWh}$ pertama. Dengan cara ini, biaya tidak mulai dari $0$ lagi setiap masuk interval baru.

Tabel biaya listrik:

Kecepatan Bertahap

Contoh: Perjalanan Multi-Moda

Seseorang melakukan perjalanan dengan:

• Berjalan kaki: $5 \text{ km/jam}$ selama $0{,}5 \text{ jam}$
• Naik sepeda: $15 \text{ km/jam}$ selama $1 \text{ jam}$
• Naik mobil: $60 \text{ km/jam}$ selama $0{,}5 \text{ jam}$

Fungsi jarak terhadap waktu:

Konstanta $2{,}5$ dan $17{,}5$ sama dengan jarak yang sudah ditempuh pada awal setiap interval baru. Dengan kedua konstanta tersebut, $s(t)$ tetap kontinu saat moda transportasi berubah.

Menentukan Persamaan Fungsi Piecewise

Untuk menentukan persamaan fungsi piecewise dari grafik atau situasi:

• Pisahkan domain berdasarkan batas ketika aturan berubah.
• Tentukan rumus untuk setiap interval.
• Periksa titik sambung agar tanda interval dan nilai fungsi tidak saling bertabrakan.
• Tulis semua potongan dalam notasi piecewise.

Contoh:

Dari grafik yang menunjukkan:

• Garis dengan kemiringan $2$ dari $x = -2$ hingga $x = 0$
• Garis horizontal $y = 4$ dari $x = 0$ hingga $x = 2$
• Garis dengan kemiringan $-1$ dari $x = 2$ hingga $x = 4$

Langkah penyelesaiannya bisa diringkas seperti ini:

Fungsi piecewise:

Latihan

1. Tentukan nilai $f(1)$, $f(3)$, dan $f(5)$ untuk fungsi:

   $$f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{jika } x < 2 \\ 2x + 1, & \text{jika } 2 \leq x < 4 \\ 9, & \text{jika } x \geq 4 \end{cases}$$

2. Sebuah perusahaan taksi online menerapkan tarif:

   Tarif dasar adalah $\text{Rp }10{.}000$ untuk $2 \text{ km}$ pertama. Jarak di atas $2 \text{ km}$ sampai $10 \text{ km}$ dikenai $\text{Rp }4{.}000/\text{km}$. Di atas $10 \text{ km}$, tarif tambahannya menjadi $\text{Rp }3{.}000/\text{km}$.

   Buatlah model fungsi piecewise untuk total biaya!

3. Tentukan apakah fungsi berikut kontinu di $x = 1$:

   $$g(x) = \begin{cases} 3x - 1, & \text{jika } x < 1 \\ 2, & \text{jika } x = 1 \\ x + 1, & \text{jika } x > 1 \end{cases}$$

4. Sketsa grafik fungsi:

   $$h(x) = \begin{cases} -x + 2, & \text{jika } x < 0 \\ x^2, & \text{jika } 0 \leq x < 2 \\ 4, & \text{jika } x \geq 2 \end{cases}$$

5. Seorang pekerja dibayar dengan sistem:

   $8 \text{ jam}$ pertama dibayar $\text{Rp }50{.}000/\text{jam}$. Setiap jam berikutnya dibayar $\text{Rp }75{.}000/\text{jam}$.

   Jika pekerja tersebut boleh bekerja paling lama $12 \text{ jam/hari}$, buatlah fungsi upah hariannya.

Kunci Jawaban

1. Menghitung nilai fungsi:

   Untuk $f(1)$: karena $1 < 2$, gunakan $f(x) = x^2$

   $$f(1) = 1^2 = 1$$

   Untuk $f(3)$: karena $2 \leq 3 < 4$, gunakan $f(x) = 2x + 1$

   $$f(3) = 2(3) + 1 = 7$$

   Untuk $f(5)$: karena $5 \geq 4$, gunakan $f(x) = 9$

   $$f(5) = 9$$

2. Model tarif taksi:

   Misalkan $x$ adalah jarak dalam km, maka:

   $$C(x) = \begin{cases}\begin{gathered}10000\\\text{jika } 0 < x \leq 2\end{gathered}\\[4pt]\begin{gathered}10000 + 4000(x-2)\\\text{jika } 2 < x \leq 10\end{gathered}\\[4pt]\begin{gathered}\begin{aligned}10000+32000\\+3000(x-10)\end{aligned}\\\text{jika } x > 10\end{gathered}\end{cases}$$

   Atau disederhanakan:

   $$C(x) = \begin{cases}\begin{gathered}10000\\\text{jika } 0 < x \leq 2\end{gathered}\\[4pt]\begin{gathered}4000x + 2000\\\text{jika } 2 < x \leq 10\end{gathered}\\[4pt]\begin{gathered}3000x + 12000\\\text{jika } x > 10\end{gathered}\end{cases}$$

3. Memeriksa kontinuitas:

   Di $x = 1$:

   $$\begin{aligned} \lim_{x \to 1^-} g(x) &= \lim_{x \to 1^-} (3x - 1) \\ &= 3(1) - 1 \\ &= 2 \end{aligned}$$

   $$\begin{aligned} \lim_{x \to 1^+} g(x) &= \lim_{x \to 1^+} (x + 1) \\ &= 1 + 1 \\ &= 2 \end{aligned}$$

   $$g(1) = 2$$

   Karena $\lim_{x \to 1^-} g(x) = \lim_{x \to 1^+} g(x) = g(1) = 2$, maka fungsi kontinu di $x = 1$.

4. Sketsa grafik $h(x)$:

   Grafik Fungsi $h(x)$

   Fungsi piecewise dengan tiga bagian: linear menurun, kuadratik, dan konstan

   KisiRotasi otomatis

5. Fungsi upah harian:

   Misalkan $t$ adalah jam kerja, maka:

   $$U(t) = \begin{cases}\begin{gathered}50000t\\\text{jika } 0 \leq t \leq 8\end{gathered}\\[4pt]\begin{gathered}400000 + 75000(t-8)\\\text{jika } 8 < t \leq 12\end{gathered}\end{cases}$$

   Atau disederhanakan:

   $$U(t) = \begin{cases}\begin{gathered}50000t\\\text{jika } 0 \leq t \leq 8\end{gathered}\\[4pt]\begin{gathered}75000t - 200000\\\text{jika } 8 < t \leq 12\end{gathered}\end{cases}$$