For AI agents: use /llms.txt for the Nakafa content index.
Sebuah fungsi disebut injektif atau satu-ke-satu jika setiap elemen yang berbeda di domain dipetakan ke elemen yang berbeda pula di kodomain . Dengan kata lain, tidak boleh ada dua elemen domain berbeda yang memiliki hasil pemetaan (bayangan) yang sama di kodomain.
Definisi Formal:
Fungsi adalah injektif jika untuk setiap , berlaku:
Atau, secara ekuivalen (menggunakan kontraposisi):
Bayangkan setiap siswa dalam satu sekolah (domain) harus memiliki nomor induk siswa (kodomain) yang unik. Tidak boleh ada dua siswa yang nomor induknya sama. Fungsi pemetaan dari siswa ke nomor induk ini adalah fungsi injektif.
Contoh:
Kita dapat membuktikan contoh linear langsung dari definisi injektif:
Sebuah fungsi disebut surjektif atau pada (onto) jika setiap elemen di kodomain merupakan hasil pemetaan (bayangan) dari setidaknya satu elemen di domain . Dengan kata lain, tidak ada elemen di kodomain yang "tidak terjangkau" atau tidak memiliki pasangan di domain. Range (daerah hasil) dari fungsi surjektif sama dengan kodomainnya.
Definisi Formal:
Fungsi adalah surjektif jika untuk setiap , terdapat setidaknya satu sehingga:
Bayangkan setiap siswa dipasangkan dengan satu kelas. Beberapa siswa boleh berada di kelas yang sama. Pemetaan siswa ke kelas bersifat surjektif jika setiap kelas yang masuk kodomain memiliki setidaknya satu siswa.
Contoh:
Sebuah fungsi disebut bijektif jika ia bersifat injektif dan surjektif sekaligus. Artinya, setiap elemen di domain dipetakan ke elemen yang unik di kodomain, dan setiap elemen di kodomain memiliki tepat satu pasangan elemen di domain.
Fungsi bijektif menciptakan korespondensi satu-ke-satu yang sempurna antara elemen domain dan kodomain.
Definisi Formal:
Fungsi adalah bijektif jika untuk setiap , terdapat tepat satu sehingga:
Bayangkan dua kelompok dengan jumlah anggota yang sama. Setiap anggota kelompok pertama dipasangkan dengan tepat satu anggota kelompok kedua, dan setiap anggota kelompok kedua juga memiliki tepat satu pasangan. Pemetaan seperti ini adalah bijektif.
Fungsi memiliki invers dua arah tepat ketika fungsi tersebut bijektif. Fungsi injektif tetap dapat dibalik pada daerah hasil fungsi setelah daerah hasil itu dipilih sebagai kodomain.
| Pemetaan dari bilangan real ke bilangan real | Injektif | Surjektif | Alasan utama |
|---|---|---|---|
| Ya | Ya | Setiap keluaran memiliki satu masukan setengah nilainya. | |
| Ya | Ya | Setiap keluaran memiliki satu akar pangkat tiga real. | |
| Tidak | Tidak | Masukan berlawanan tanda berulang, keluaran negatif tidak tercapai. | |
| Ya | Tidak | Keluaran selalu positif, meskipun masukan berbeda memberi keluaran berbeda. | |
| Tidak | Ya | Semua nilai real tercapai, tetapi nol memiliki beberapa masukan. |
Untuk , tiga masukan menghasilkan nol, sehingga fungsi tidak injektif:
Fungsi polinomial ini kontinu, dengan nilai menuju ketika dan menuju ketika . Teorema nilai antara memastikan setiap nilai real tercapai, sehingga fungsi surjektif.
Ketiga pemetaan memakai rumus . Kodomain berubah dari butir pertama ke kedua, lalu domain dibatasi pada butir ketiga. Tentukan apakah setiap pemetaan injektif, surjektif, bijektif, atau bukan keduanya.
Rumusnya tidak berubah. Klasifikasinya berubah karena domain dan kodomainnya berubah.
Diterbitkan: . Diperbarui: .
