Fungsi Invers

Mengembalikan Keluaran ke Masukan Semula

Penerjemahan dari bahasa Inggris ke bahasa Indonesia menerima kata atau kalimat sebagai masukan dan menghasilkan terjemahan sebagai keluaran. Hubungan masukan dan keluaran ini dapat dimodelkan sebagai fungsi.

Penerjemahan bahasa sebenarnya dapat memiliki lebih dari satu makna. Di sini kita sengaja memakai kamus kecil yang memasangkan setiap kata terpilih dengan tepat satu terjemahan.

Di sini, "Mesin Penerjemah" bertindak seperti fungsi yang mengubah "Mathematics" (masukan) menjadi "Matematika" (keluaran).

Pemetaan sebaliknya mengubah "Matematika" kembali menjadi "Mathematics". Pemetaan ini disebut fungsi invers.

Definisi Fungsi Invers

Fungsi invers, atau fungsi kebalikan, adalah fungsi yang "membalikkan" operasi dari suatu fungsi awal. Jika fungsi $f$ memetakan elemen $x$ dari domain $A$ ke elemen $y$ di kodomain $B$, maka fungsi inversnya, yang dinotasikan sebagai $f^{-1}$ (dibaca "f invers"), akan memetakan elemen $y$ dari $B$ kembali ke elemen $x$ di $A$.

Secara matematis:

Dengan kata lain, jika $f$ mengubah $x$ menjadi $y$, maka $f^{-1}$ mengubah $y$ kembali menjadi $x$. Fungsi invers "membatalkan" efek dari fungsi aslinya.

Notasi $f^{-1}(x)$ menyatakan fungsi invers. Kebalikan perkalian atau resiprokal ditulis sebagai $\frac{1}{f(x)}$.

Syarat Fungsi Memiliki Invers

Agar fungsi $f:A\to B$ memiliki invers dua arah $f^{-1}:B\to A$, fungsi $f$ harus bijektif. Fungsi bijektif bersifat injektif (satu-ke-satu) dan surjektif (pada) sekaligus.

• Injektif (Satu-ke-satu): Setiap elemen berbeda di domain dipetakan ke elemen yang berbeda di kodomain. Tidak ada dua input berbeda yang menghasilkan output yang sama.
• Surjektif (Pada): Setiap elemen di kodomain merupakan hasil pemetaan dari setidaknya satu elemen di domain. Semua output mungkin terjadi.

Domain dan kodomain yang dipilih ikut menentukan. Jika $f$ injektif tetapi tidak menjangkau seluruh $B$, kita dapat mengganti kodomainnya dengan daerah hasil yang sebenarnya. Dengan menulis daerah hasil itu sebagai $\operatorname{Im}(f)$, fungsi $f:A\to \operatorname{Im}(f)$ menjadi bijektif dan memiliki invers $f^{-1}:\operatorname{Im}(f)\to A$. Jika $f$ tidak injektif, pembalikan pasangan akan mengirim satu output ke lebih dari satu input. Relasi balik itu bukan fungsi, kecuali domain fungsi semula dibatasi.

Sebagai contoh, $q(x)=x^2$ tidak injektif pada $\mathbb{R}$ karena $q(2)=q(-2)=4$. Dengan membatasi domain dan kodomain, kita memperoleh fungsi bijektif

Fungsi tersebut memiliki invers $q^{-1}(x)=\sqrt{x}$.

Menentukan Rumus Fungsi Invers

Untuk mencari rumus fungsi invers $f^{-1}(x)$ dari suatu fungsi $f(x)$, kita bisa mengikuti langkah-langkah berikut:

1. Ganti $f(x)$ dengan $y$.
2. Tukar posisi variabel $x$ dan $y$ dalam persamaan.
3. Selesaikan persamaan tersebut untuk mendapatkan $y$ dalam bentuk $x$.
4. Ganti $y$ dengan $f^{-1}(x)$ untuk mendapatkan rumus fungsi invers.

Contoh:

Misalkan $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ didefinisikan oleh $f(x) = 2x + 3$. Tentukan fungsi inversnya.

1. Ganti $f(x)$ dengan $y$:

   $$y = 2x + 3$$

2. Tukar $x$ dan $y$:

   $$x = 2y + 3$$

3. Selesaikan untuk $y$:

   $$x - 3 = 2y$$

   $$\frac{x - 3}{2} = y$$

4. Ganti $y$ dengan $f^{-1}(x)$:

   $$f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}$$

Jadi, fungsi invers dari $f(x) = 2x + 3$ adalah $f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}$.

Grafik Fungsi dan Inversnya

Grafik fungsi invers $f^{-1}(x)$ merupakan pencerminan (refleksi) dari grafik fungsi aslinya $f(x)$ terhadap garis $y = x$.

Sebagai contoh, lihat grafik dari $f(x) = 2x + 3$, inversnya $f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}$, dan garis identitas $y=x$.

Cek Pemahaman

Misalkan $r:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ didefinisikan oleh $r(x)=3x-5$. Kerjakan tiga langkah berikut untuk fungsi tersebut. Periksa kedua komposisi di akhir, karena invers yang benar membatalkan fungsi asalnya pada kedua urutan.

1. Tentukan $r^{-1}(x)$.
2. Verifikasi kedua komposisi $r^{-1}(r(x))$ dan $r(r^{-1}(x))$.
3. Nyatakan domain dan daerah hasil kedua fungsi.

Pembahasan

Mulai dari $y=3x-5$, tukar kedua variabel, lalu selesaikan untuk $y$:

Sekarang verifikasi kedua arah:

Fungsi $r$ dan $r^{-1}$ sama-sama memiliki domain $\mathbb{R}$ dan daerah hasil $\mathbb{R}$. Kedua identitas tersebut membuktikan bahwa keduanya saling membatalkan pada seluruh domainnya.