Perkalian dan Pembagian Fungsi

Fungsi hasil kali memerlukan masukan yang sah untuk kedua fungsi. Domain hasil kali adalah irisan kedua domain.

Contoh Perkalian

Pakai fungsi yang sedikit berbeda kali ini:

1. $f(x) = x^2$, dengan domain $D_f = \{x | x \in \mathbb{R}\}$ (semua bilangan real).
2. $g(x) = x - 1$, dengan domain $D_g = \{x | x \in \mathbb{R}\}$ (semua bilangan real).

Langkah 1: Tentukan fungsi hasil perkalian

Langkah 2: Tentukan domain fungsi hasil perkalian

Kita cari irisan dari $D_f$ dan $D_g$:

Jadi, fungsi hasil perkaliannya adalah $(f \cdot g)(x) = x^3 - x^2$ dengan domain semua bilangan real.

Pembagian Dua Fungsi

Pembagian fungsi $f$ oleh fungsi $g$ juga mirip: kita bagi hasil $f(x)$ dengan $g(x)$. Hasilnya adalah fungsi baru $(\frac{f}{g})$.

Pada pembagian ada satu syarat tambahan. Selain harus berada dalam domain $f$ dan $g$, masukan $x$ harus memenuhi $g(x)\neq0$ agar penyebut tidak nol.

Oleh karena itu, domain dari fungsi pembagian $(\frac{f}{g})$ adalah irisan domain $D_f$ dan $D_g$, tetapi kita harus membuang semua nilai $x$ yang menyebabkan $g(x) = 0$.

Simbol $\setminus$ menyatakan selisih himpunan: keluarkan input yang tercantum dari irisan domain.

Contoh Pembagian

Kita pakai fungsi yang sama seperti contoh perkalian:

1. $f(x) = x^2$, $D_f = \{x | x \in \mathbb{R}\}$
2. $g(x) = x - 1$, $D_g = \{x | x \in \mathbb{R}\}$

Langkah 1: Tentukan fungsi hasil pembagian

Langkah 2: Tentukan domain fungsi hasil pembagian

Pertama, kita cari irisan $D_f$ dan $D_g$:

Kedua, kita cari nilai $x$ yang membuat $g(x) = 0$:

Ketiga, kita kecualikan nilai $x=1$ dari irisan domain:

Atau bisa ditulis juga sebagai:

Jadi, fungsi hasil pembagiannya adalah $(\frac{f}{g})(x) = \frac{x^2}{x-1}$ dengan domain semua bilangan real kecuali $x=1$.

Penyederhanaan tidak memperluas domain

Jika faktor yang sama muncul pada pembilang dan penyebut, kita boleh mencoret faktor itu hanya saat nilainya tidak nol.

Rumus sederhana tetap memiliki batasan domain awal. Pada masukan dua, pecahan dan bentuk sederhana sama-sama bernilai tiga. Pada masukan satu, pecahan awal tidak terdefinisi meskipun bentuk linear bernilai dua.

Latihan Soal

Diketahui fungsi $f(x) = \sqrt{x+4}$ dengan $D_f = \{x | x \ge -4, x \in \mathbb{R}\}$ dan fungsi $g(x) = x^2 - 9$ dengan $D_g = \{x | x \in \mathbb{R}\}$. Tentukan setiap hasil operasi pada soal berikut. Pada pembagian, nilai yang membuat penyebutnya nol juga dikeluarkan dari daerah asal.

1. Tentukan $(f \cdot g)(x)$ dan domainnya $D_{f \cdot g}$.
2. Tentukan $(\frac{f}{g})(x)$ dan domainnya $D_{\frac{f}{g}}$.
3. Hitung nilai $(f \cdot g)(5)$.
4. Apakah $(\frac{f}{g})(3)$ terdefinisi? Jelaskan.

Pembahasan

Soal 1. Kalikan kedua nilai fungsi pada masukan yang sama, lalu periksa syarat domain keduanya.

Mencari Domain $D_{f \cdot g}$:

Jadi, $(f \cdot g)(x) = (x^2 - 9)\sqrt{x+4}$ dengan domain $\{x | x \ge -4, x \in \mathbb{R}\}$.

Soal 2. Bagi nilai fungsi pertama dengan nilai fungsi kedua. Penyebut tidak boleh bernilai nol.

Mencari Domain $D_{\frac{f}{g}}$:

Irisan domain: $D_f \cap D_g = \{x | x \ge -4, x \in \mathbb{R}\}$.

Cari $x$ yang membuat $g(x)=0$:

Kecualikan $x=3$ dan $x=-3$ dari irisan domain:

Atau bisa ditulis:

Jadi, $(\frac{f}{g})(x) = \frac{\sqrt{x+4}}{x^2 - 9}$ dengan domain $\{x | x \ge -4, x \neq -3, x \neq 3\}$.

Soal 3. Substitusikan masukan yang diminta ke rumus hasil kali yang sudah dihitung: $(f \cdot g)(x) = (x^2 - 9)\sqrt{x+4}$.

Karena $5 \ge -4$, $x=5$ ada di dalam domain $D_{f \cdot g}$.

Soal 4. Tidak terdefinisi. Kita lihat domain dari $(\frac{f}{g})(x)$ pada nomor 2, yaitu $\{x | x \ge -4, x \neq -3, x \neq 3\}$. Nilai $x=3$ secara eksplisit dikecualikan dari domain karena akan menyebabkan penyebut $g(x) = x^2 - 9$ menjadi nol ($3^2 - 9 = 0$). Pembagian dengan nol tidak diperbolehkan dalam matematika.

Diterbitkan: 27 Apr 2025. Diperbarui: 23 Sep 2026.