Perkalian dan Pembagian Fungsi

Perkalian Dua Fungsi

Fungsi hasil kali mengalikan $f(x)$ dan $g(x)$ pada masukan $x$ yang sama. Operasi ini menghasilkan fungsi baru $(f\cdot g)$ .

Visualisasi Perkalian Fungsi

Perhatikan bagaimana garis

f(x)=x

dan

g(x)=2

dikalikan menjadi

(f \cdot g)(x)=2x

(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)

Seperti fungsi jumlah atau selisih, fungsi hasil kali hanya terdefinisi saat kedua fungsi asal terdefinisi. Domainnya adalah irisan kedua domain.

D_{f \cdot g} = D_f \cap D_g

Contoh Perkalian

Pakai fungsi yang sedikit berbeda kali ini:

$f(x) = x^2$ , dengan domain $D_f = \{x | x \in \mathbb{R}\}$ (semua bilangan real).
$g(x) = x - 1$ , dengan domain $D_g = \{x | x \in \mathbb{R}\}$ (semua bilangan real).

Langkah 1: Tentukan fungsi hasil perkalian

(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)

Langkah 2: Tentukan domain fungsi hasil perkalian

Kita cari irisan dari $D_f$ dan $D_g$ :

D_{f \cdot g} = D_f \cap D_g

Jadi, fungsi hasil perkaliannya adalah $(f \cdot g)(x) = x^3 - x^2$ dengan domain semua bilangan real.

Pembagian Dua Fungsi

Pembagian fungsi $f$ oleh fungsi $g$ juga mirip: kita bagi hasil $f(x)$ dengan $g(x)$ . Hasilnya adalah fungsi baru $(\frac{f}{g})$ .

\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}

Pada pembagian ada satu syarat tambahan. Selain harus berada dalam domain $f$ dan $g$ , masukan $x$ harus memenuhi $g(x)\neq0$ agar penyebut tidak nol.

Oleh karena itu, domain dari fungsi pembagian $(\frac{f}{g})$ adalah irisan domain $D_f$ dan $D_g$ , tetapi kita harus membuang semua nilai $x$ yang menyebabkan $g(x) = 0$ .

D_{\frac{f}{g}}=(D_f\cap D_g)\setminus\{x\mid g(x)=0\}

Simbol $\setminus$ menyatakan selisih himpunan: keluarkan input yang tercantum dari irisan domain.

Contoh Pembagian

Kita pakai fungsi yang sama seperti contoh perkalian:

$f(x) = x^2$ , $D_f = \{x | x \in \mathbb{R}\}$
$g(x) = x - 1$ , $D_g = \{x | x \in \mathbb{R}\}$

Langkah 1: Tentukan fungsi hasil pembagian

\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{x^2}{x-1}

Langkah 2: Tentukan domain fungsi hasil pembagian

Pertama, kita cari irisan $D_f$ dan $D_g$ :

D_f \cap D_g = \{x | x \in \mathbb{R}\}

Kedua, kita cari nilai $x$ yang membuat $g(x) = 0$ :

g(x) = 0

Ketiga, kita kecualikan nilai $x=1$ dari irisan domain:

D_{\frac{f}{g}}=\{x\mid x\in\mathbb{R}\}\setminus\{1\}

Atau bisa ditulis juga sebagai:

D_{\frac{f}{g}} = \{x | x \in \mathbb{R}, x \neq 1\}

Jadi, fungsi hasil pembagiannya adalah $(\frac{f}{g})(x) = \frac{x^2}{x-1}$ dengan domain semua bilangan real kecuali $x=1$ .

Diketahui fungsi $f(x) = \sqrt{x+4}$ dengan $D_f = \{x | x \ge -4, x \in \mathbb{R}\}$ dan fungsi $g(x) = x^2 - 9$ dengan $D_g = \{x | x \in \mathbb{R}\}$ . Tentukan setiap hasil operasi pada soal berikut. Pada pembagian, nilai yang membuat penyebutnya nol juga dikeluarkan dari daerah asal.

Tentukan $(f \cdot g)(x)$ dan domainnya $D_{f \cdot g}$ .
Tentukan $(\frac{f}{g})(x)$ dan domainnya $D_{\frac{f}{g}}$ .
Hitung nilai $(f \cdot g)(5)$ .
Apakah $(\frac{f}{g})(3)$ terdefinisi? Jelaskan.

Kunci Jawaban

Mencari $(f \cdot g)(x)$ :
$(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)$
Mencari Domain $D_{f \cdot g}$ :
$D_{f \cdot g} = D_f \cap D_g$
Jadi, $(f \cdot g)(x) = (x^2 - 9)\sqrt{x+4}$ dengan domain $\{x | x \ge -4, x \in \mathbb{R}\}$ .
Mencari $(\frac{f}{g})(x)$ :

$\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\sqrt{x+4}}{x^2 - 9}$

Mencari Domain $D_{\frac{f}{g}}$ :

Irisan domain: $D_f \cap D_g = \{x | x \ge -4, x \in \mathbb{R}\}$ .

Cari $x$ yang membuat $g(x)=0$ :
$g(x) = 0$
Kecualikan $x=3$ dan $x=-3$ dari irisan domain:

$D_{\frac fg}=\{x\in\mathbb R\mid x\geq-4\}\setminus\{-3,3\}$

Atau bisa ditulis:

$D_{\frac fg}=[-4,\infty)\setminus\{-3,3\}$

Jadi, $(\frac{f}{g})(x) = \frac{\sqrt{x+4}}{x^2 - 9}$ dengan domain $\{x | x \ge -4, x \neq -3, x \neq 3\}$ .
Menghitung $(f \cdot g)(5)$ :

Kita gunakan hasil dari nomor 1: $(f \cdot g)(x) = (x^2 - 9)\sqrt{x+4}$ .

Karena $5 \ge -4$ , $x=5$ ada di dalam domain $D_{f \cdot g}$ .
$(f \cdot g)(5) = (5^2 - 9)\sqrt{5+4}$
Apakah $(\frac{f}{g})(3)$ terdefinisi?

Tidak terdefinisi. Kita lihat domain dari $(\frac{f}{g})(x)$ pada nomor 2, yaitu $\{x | x \ge -4, x \neq -3, x \neq 3\}$ . Nilai $x=3$ secara eksplisit dikecualikan dari domain karena akan menyebabkan penyebut $g(x) = x^2 - 9$ menjadi nol ( $3^2 - 9 = 0$ ). Pembagian dengan nol tidak diperbolehkan dalam matematika.