Lingkaran dan Garis Singgung

Garis yang Menyentuh Lingkaran Tepat di Satu Titik

Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Garis singgung menyentuh lingkaran tepat di satu titik, dan jari-jari menuju titik itu tegak lurus terhadap garis singgung. Sifat tegak lurus itu memberikan gradien garis singgungnya, karena hasil kali kedua gradien sama dengan $-1$.

Garis Singgung Melalui Titik pada Lingkaran

Jika titik $(x_1, y_1)$ terletak pada lingkaran $x^2 + y^2 = r^2$, maka persamaan garis singgung di titik tersebut adalah:

Lingkaran pada rumus ini memakai bentuk baku untuk lingkaran yang berpusat di titik asal.

Untuk lingkaran dengan pusat $(a, b)$:

Garis Singgung dengan Gradien Tertentu

Persamaan garis singgung lingkaran $x^2 + y^2 = r^2$ dengan gradien $m$ adalah:

Untuk lingkaran dengan pusat $(a, b)$:

Garis Singgung dari Titik di Luar Lingkaran

Dari sebuah titik di luar lingkaran, dapat ditarik dua garis singgung ke lingkaran tersebut.

Panjang Garis Singgung

Jika $P(x_1, y_1)$ adalah titik di luar lingkaran dengan pusat $O(a, b)$ dan jari-jari $r$, maka panjang ruas garis singgung dari $P$ ke titik singgung adalah:

Garis Singgung Persekutuan Dua Lingkaran

Dua lingkaran dapat memiliki garis singgung yang menyilang di antara keduanya atau melewati bagian luar. Selisih kedua jari-jari menentukan panjang garis singgung persekutuan luar, sedangkan jumlahnya menentukan panjang garis singgung persekutuan dalam.

Garis Singgung Persekutuan Luar

Garis singgung persekutuan luar menyinggung kedua lingkaran tanpa memotong ruas garis di antara kedua pusatnya.

Panjang garis singgung persekutuan luar:

Pada rumus ini, $d$ adalah jarak antara kedua pusat lingkaran.

Ruas garis singgung luar dengan panjang positif hanya ada jika $d>|r_1-r_2|$. Pada saat sama dengan, kedua lingkaran bersinggungan dalam dan ruas antara kedua titik singgung menyusut menjadi nol.

Garis Singgung Persekutuan Dalam

Garis singgung persekutuan dalam adalah garis yang menyinggung kedua lingkaran dan memotong garis yang menghubungkan kedua pusat lingkaran.

Panjang garis singgung persekutuan dalam:

Ruas garis singgung dalam dengan panjang positif hanya ada jika $d>r_1+r_2$. Pada saat sama dengan, kedua lingkaran bersinggungan luar dan ruas antara kedua titik singgung panjangnya nol.

Menentukan Persamaan Garis Singgung

Contoh-contoh berikut menyusun persamaan garis singgung dari informasi awal yang berbeda. Ikuti substitusi pada setiap kasus. Periksa di akhir setiap contoh bahwa titik singgungnya benar-benar terletak pada garis dan pada lingkaran.

Menentukan Garis Singgung Melalui Titik pada Lingkaran

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $x^2 + y^2 = 25$ di titik $(3, 4)$.

Penyelesaian:

Karena titik $(3, 4)$ terletak pada lingkaran (dapat diverifikasi: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$), maka persamaan garis singgungnya:

Menentukan Garis Singgung dengan Gradien Tertentu

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $x^2 + y^2 = 16$ yang sejajar dengan garis $3x - 4y + 5 = 0$.

Penyelesaian:

Gradien garis $3x - 4y + 5 = 0$ adalah $m = \frac{3}{4}$.

Persamaan garis singgung dengan gradien $m = \frac{3}{4}$:

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah:

• $y = \frac{3}{4}x + 5$ atau $3x - 4y + 20 = 0$
• $y = \frac{3}{4}x - 5$ atau $3x - 4y - 20 = 0$

Menghitung Panjang Garis Singgung dari Titik Luar

Tentukan panjang garis singgung dari titik $P(7, 1)$ ke lingkaran $x^2 + y^2 = 25$.

Penyelesaian:

Pusat lingkaran $O(0, 0)$ dan jari-jari $r = 5$.

Latihan Soal

Setiap soal memberi sebuah lingkaran dan syarat tambahan seperti titik atau garis sejajar. Pakai jari-jari yang tegak lurus untuk menyusun persamaan garis singgung.

1. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $x^2 + y^2 = 36$ di titik $(-3, 3\sqrt{3})$!

2. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25$ yang tegak lurus dengan garis $2x + y - 5 = 0$!

3. Dari titik $A(10, 0)$ ditarik garis singgung ke lingkaran $x^2 + y^2 = 36$. Tentukan:

   • Panjang garis singgung
   • Koordinat titik-titik singgung

4. Dua lingkaran masing-masing berpusat di $O_1(-4, 0)$ dengan jari-jari $2$ dan $O_2(4, 0)$ dengan jari-jari $3$. Tentukan panjang garis singgung persekutuan luar!

5. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$ yang melalui titik $(8, -2)$!

Pembahasan

1. Persamaan garis singgung di titik pada lingkaran

   Verifikasi titik pada lingkaran:

   $$(-3)^2 + (3\sqrt{3})^2 = 9 + 27 = 36 \space \checkmark$$

   Persamaan garis singgung:

   $$x_1 \cdot x + y_1 \cdot y = r^2$$

   $$-3x + 3\sqrt{3}y = 36$$

   $$-x + \sqrt{3}y = 12$$

   $$x - \sqrt{3}y + 12 = 0$$

2. Garis singgung tegak lurus dengan garis tertentu

   Gradien garis $2x + y - 5 = 0$ adalah $m_1 = -2$.

   Karena tegak lurus, maka $m_2 = \frac{1}{2}$.

   Persamaan garis singgung:

   $$y - b = m(x - a) \pm r\sqrt{1 + m^2}$$

   $$y + 3 = \frac{1}{2}(x - 2) \pm 5\sqrt{1 + \frac{1}{4}}$$

   $$y + 3 = \frac{1}{2}(x - 2) \pm 5 \cdot \frac{\sqrt{5}}{2}$$

   $$y + 3 = \frac{1}{2}x - 1 \pm \frac{5\sqrt{5}}{2}$$

   Jadi: $x - 2y - 8 \pm 5\sqrt{5} = 0$

3. Garis singgung dari titik luar

   • Panjang garis singgung:

     $$\begin{aligned} AT &= \sqrt{10^2 + 0^2 - 36} \\ &= \sqrt{100 - 36} \\ &= \sqrt{64} \\ &= 8 \end{aligned}$$

   • Untuk mencari titik singgung, misalkan $T(x,y)$ salah satunya. Karena jari-jari $OT$ tegak lurus garis singgung $AT$, hasil kali titik kedua vektor arahnya sama dengan nol:

     $$(A-T)\cdot T=0$$

     $$(10-x)x-y^2=0$$

     $$10x-(x^2+y^2)=0$$

     $$10x-36=0 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{18}{5}$$

     $$y=\pm\sqrt{36-\left(\frac{18}{5}\right)^2}=\pm\frac{24}{5}$$

     Jadi, titik singgungnya adalah $T_1\left(\frac{18}{5},\frac{24}{5}\right)$ dan $T_2\left(\frac{18}{5},-\frac{24}{5}\right)$.

4. Garis singgung persekutuan luar

   $$d = \sqrt{(4-(-4))^2 + (0-0)^2} = 8$$

   $$\begin{aligned} l &= \sqrt{d^2 - (r_2 - r_1)^2} \\ &= \sqrt{64 - 1} \\ &= \sqrt{63} \\ &= 3\sqrt{7} \end{aligned}$$

5. Garis singgung melalui titik pada lingkaran

   Lingkaran: $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$

   Pusat $(3, -2)$, jari-jari $r = 5$

   Periksa bahwa titik $(8, -2)$ terletak pada lingkaran:

   $$\begin{aligned} (8-3)^2 + (-2+2)^2 &= 25 + 0 \\ &= 25 \end{aligned}$$

   Ruas kiri bernilai $r^2=25$, sehingga titik tersebut berada pada lingkaran. Maka persamaan garis singgungnya:

   $$\begin{aligned} &(8-3)(x-3) \\ &\quad{}+ (-2+2)(y+2) = 25 \end{aligned}$$

   $$5(x-3) + 0 = 25$$

   $$x - 3 = 5$$

   $$x = 8$$