Lingkaran dan Garis Singgung

Garis yang Menyentuh Lingkaran Tepat di Satu Titik

Garis singgung memotong lingkaran di $tepat satu titik$ . Titik pertemuan garis dan lingkaran disebut $titik singgung$ .

Garis Singgung Lingkaran

Titik singgung P dan jari-jari OP pada garis singgung lingkaran.

Garis singgung selalu $tegak lurus terhadap jari-jari$ di titik singgung.

Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Jika jari-jari dan garis singgung sama-sama memiliki gradien terdefinisi, hasil kali gradiennya adalah $-1$ . Untuk garis vertikal, gunakan $persamaan titik$ tanpa membagi koordinat. Semua rumus berikut memakai jari-jari $r>0$ .

Garis Singgung Melalui Titik pada Lingkaran

Jika titik $(x_1, y_1)$ $terletak pada lingkaran$ $x^2 + y^2 = r^2$ , maka persamaan garis singgung di titik tersebut adalah:

x_1 \cdot x + y_1 \cdot y = r^2

Dengan pusat di titik asal, vektor jari-jari $(x_1,y_1)$ tegak lurus vektor sepanjang garis $(x-x_1,y-y_1)$ . Hasil kali titiknya nol. Gunakan juga $x_1^2+y_1^2=r^2$ .

\begin{aligned}x_1(x-x_1)+y_1(y-y_1)&=0\\x_1x+y_1y&=x_1^2+y_1^2=r^2\end{aligned}

Lingkaran pada rumus ini memakai bentuk baku untuk lingkaran yang berpusat di titik asal.

Untuk lingkaran dengan pusat $(a, b)$ :

\begin{aligned} &(x_1 - a)(x - a) + (y_1 - b)(y - b) \\ &= r^2 \end{aligned}

Garis Singgung dengan Gradien Tertentu

Persamaan garis singgung lingkaran $x^2 + y^2 = r^2$ dengan gradien $m$ adalah:

Tuliskan garis sebagai $mx-y+c=0$ . Garis menyinggung lingkaran ketika $jarak pusat ke garis$ sama dengan jari-jari.

\frac{|c|}{\sqrt{m^2+1}}=r\quad\Longrightarrow\quad c=\pm r\sqrt{m^2+1}

Untuk lingkaran dengan pusat $(a, b)$ :

y - b = m(x - a) \pm r\sqrt{1 + m^2}

Garis Singgung dari Titik di Luar Lingkaran

Dari sebuah titik di luar lingkaran, dapat ditarik $dua garis singgung$ ke lingkaran tersebut.

Dua Garis Singgung dari Titik Luar

Dari titik

P

di luar lingkaran dapat ditarik dua garis singgung.

Panjang Garis Singgung

Jika $P(x_1, y_1)$ adalah titik di luar lingkaran dengan pusat $O(a, b)$ dan jari-jari $r$ , maka panjang ruas garis singgung dari $P$ ke titik singgung adalah:

Pada segitiga siku-siku $OPT$ , ruas $OP$ adalah $sisi miring$ dan $OT=r$ . Maka teorema Pythagoras memberi:

PT^2+OT^2=OP^2\quad\Longrightarrow\quad PT=\sqrt{OP^2-r^2}

Garis Singgung Persekutuan Dua Lingkaran

Dua lingkaran dapat memiliki garis singgung yang menyilang di antara keduanya atau melewati bagian luar. $Selisih kedua jari-jari$ menentukan panjang garis singgung persekutuan luar, sedangkan jumlahnya menentukan panjang garis singgung persekutuan dalam.

Garis Singgung Persekutuan Luar

Garis singgung persekutuan luar menyinggung kedua lingkaran $tanpa memotong ruas garis$ di antara kedua pusatnya.

Garis Singgung Persekutuan Luar

Garis yang menyinggung kedua lingkaran dari sisi yang sama.

Panjang garis singgung persekutuan luar:

l = \sqrt{d^2 - (r_1 - r_2)^2}

Pada rumus ini, $d$ adalah jarak antara kedua pusat lingkaran.

Ruas garis singgung luar dengan panjang positif hanya ada jika $d>|r_1-r_2|$ . Jika $d=|r_1-r_2|>0$ , kedua lingkaran bersinggungan dalam dan ruas antara titik singgung menyusut menjadi nol. Kasus $d=0$ dengan jari-jari sama adalah lingkaran berimpit.

Garis Singgung Persekutuan Dalam

Garis singgung persekutuan dalam adalah garis yang menyinggung kedua lingkaran dan memotong $ruas garis penghubung kedua pusat$ .

Garis Singgung Persekutuan Dalam

Garis yang menyinggung kedua lingkaran dari sisi yang berlawanan.

Panjang garis singgung persekutuan dalam:

l = \sqrt{d^2 - (r_1 + r_2)^2}

Ruas garis singgung dalam dengan panjang positif hanya ada jika $d>r_1+r_2$ . Pada saat sama dengan, kedua lingkaran bersinggungan luar dan ruas antara kedua titik singgung panjangnya nol.

Menentukan Persamaan Garis Singgung

Contoh-contoh berikut menyusun persamaan garis singgung dari informasi awal yang berbeda. Ikuti substitusi pada setiap kasus. Periksa di akhir setiap contoh bahwa titik singgungnya benar-benar $terletak pada garis dan pada lingkaran$ .

Menentukan Garis Singgung Melalui Titik pada Lingkaran

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $x^2 + y^2 = 25$ di titik $(3, 4)$ .

$Penyelesaian$ :

Karena titik $(3, 4)$ terletak pada lingkaran (dapat diverifikasi: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$ ), maka persamaan garis singgungnya:

x_1 \cdot x + y_1 \cdot y = r^2

Menentukan Garis Singgung dengan Gradien Tertentu

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $x^2 + y^2 = 16$ yang sejajar dengan garis $3x - 4y + 5 = 0$ .

$Penyelesaian$ :

Gradien garis $3x - 4y + 5 = 0$ adalah $m = \frac{3}{4}$ .

Persamaan garis singgung dengan gradien $m = \frac{3}{4}$ :

y = mx \pm r\sqrt{1 + m^2}

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah:

$y = \frac{3}{4}x + 5$ atau $3x - 4y + 20 = 0$
$y = \frac{3}{4}x - 5$ atau $3x - 4y - 20 = 0$

Menghitung Panjang Garis Singgung dari Titik Luar

Tentukan panjang garis singgung dari titik $P(7, 1)$ ke lingkaran $x^2 + y^2 = 25$ .

$Penyelesaian$ :

Pusat lingkaran $O(0, 0)$ dan jari-jari $r = 5$ .

PT = \sqrt{(x_1 - a)^2 + (y_1 - b)^2 - r^2}

Latihan Soal

Bedakan soal yang meminta persamaan garis dari soal yang meminta panjang ruas. Untuk persamaan, gunakan $titik atau gradien$ yang diketahui. Untuk panjang, tentukan segitiga siku-siku dan jarak antarpusat yang sesuai.

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $x^2 + y^2 = 36$ di titik $(-3, 3\sqrt{3})$ !
Tentukan persamaan kedua garis singgung lingkaran $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25$ yang tegak lurus dengan garis $2x + y - 5 = 0$ !
Dari titik $A(10, 0)$ ditarik garis singgung ke lingkaran $x^2 + y^2 = 36$ . Tentukan panjang ruas dari $A$ ke setiap titik singgung dan koordinat kedua titik singgung.
Dua lingkaran masing-masing berpusat di $O_1(-4, 0)$ dengan jari-jari $2$ dan $O_2(4, 0)$ dengan jari-jari $3$ . Tentukan panjang garis singgung persekutuan luar!
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$ yang melalui titik $(8, -2)$ !

Pembahasan

$Pembahasan 1$ : Persamaan garis singgung di $titik pada lingkaran$

Verifikasi $titik pada lingkaran$ :

(-3)^2 + (3\sqrt{3})^2 = 9 + 27 = 36 \space \checkmark

Persamaan garis singgung:

x_1 \cdot x + y_1 \cdot y = r^2

$Pembahasan 2$ : Garis singgung $tegak lurus$ dengan garis tertentu

Gradien garis $2x + y - 5 = 0$ adalah $m_1 = -2$ .

Karena $tegak lurus$ , maka $m_2 = \frac{1}{2}$ .

Persamaan garis singgung:

y - b = m(x - a) \pm r\sqrt{1 + m^2}

Jadi: $x - 2y - 8 \pm 5\sqrt{5} = 0$

$Pembahasan 3$ : Garis singgung dari titik luar

Panjang garis singgung:

\begin{aligned} AT &= \sqrt{10^2 + 0^2 - 36} \\ &= \sqrt{100 - 36} \\ &= \sqrt{64} \\ &= 8 \end{aligned}

Untuk mencari titik singgung, misalkan $T(x,y)$ salah satunya. Karena jari-jari $OT$ $tegak lurus$ garis singgung $AT$ , $hasil kali titik$ kedua vektor arahnya sama dengan nol:

(A-T)\cdot T=0

Jadi, titik singgungnya adalah $T_1\left(\frac{18}{5},\frac{24}{5}\right)$ dan $T_2\left(\frac{18}{5},-\frac{24}{5}\right)$ .

$Pembahasan 4$ : $Garis singgung persekutuan luar$

d = \sqrt{(4-(-4))^2 + (0-0)^2} = 8

$Pembahasan 5$ : Garis singgung melalui $titik pada lingkaran$

$Lengkapkan kuadrat$ untuk membaca pusat dan jari-jari:

\begin{aligned}x^2-6x+y^2+4y&=12\\(x-3)^2-9+(y+2)^2-4&=12\\(x-3)^2+(y+2)^2&=25\end{aligned}

Pusat $(3, -2)$ , jari-jari $r = 5$

Periksa bahwa titik $(8, -2)$ terletak pada lingkaran:

\begin{aligned} (8-3)^2 + (-2+2)^2 &= 25 + 0 \\ &= 25 \end{aligned}

Ruas kiri bernilai $r^2=25$ , sehingga titik tersebut berada pada lingkaran. Maka persamaan garis singgungnya:

\begin{aligned} &(8-3)(x-3) \\ &\quad{}+ (-2+2)(y+2) = 25 \end{aligned}

Garis yang Menyentuh Lingkaran Tepat di Satu Titik

Garis singgung memotong lingkaran di $tepat satu titik$ . Titik pertemuan garis dan lingkaran disebut $titik singgung$ .

Garis Singgung Lingkaran

Titik singgung P dan jari-jari OP pada garis singgung lingkaran.

Garis singgung selalu $tegak lurus terhadap jari-jari$ di titik singgung.

Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Garis Singgung Melalui Titik pada Lingkaran

Jika titik $(x_1, y_1)$ $terletak pada lingkaran$ $x^2 + y^2 = r^2$ , maka persamaan garis singgung di titik tersebut adalah:

x_1 \cdot x + y_1 \cdot y = r^2

Dengan pusat di titik asal, vektor jari-jari $(x_1,y_1)$ tegak lurus vektor sepanjang garis $(x-x_1,y-y_1)$ . Hasil kali titiknya nol. Gunakan juga $x_1^2+y_1^2=r^2$ .

\begin{aligned}x_1(x-x_1)+y_1(y-y_1)&=0\\x_1x+y_1y&=x_1^2+y_1^2=r^2\end{aligned}

Lingkaran pada rumus ini memakai bentuk baku untuk lingkaran yang berpusat di titik asal.

Untuk lingkaran dengan pusat $(a, b)$ :

\begin{aligned} &(x_1 - a)(x - a) + (y_1 - b)(y - b) \\ &= r^2 \end{aligned}

Garis Singgung dengan Gradien Tertentu

Persamaan garis singgung lingkaran $x^2 + y^2 = r^2$ dengan gradien $m$ adalah:

Tuliskan garis sebagai $mx-y+c=0$ . Garis menyinggung lingkaran ketika $jarak pusat ke garis$ sama dengan jari-jari.

\frac{|c|}{\sqrt{m^2+1}}=r\quad\Longrightarrow\quad c=\pm r\sqrt{m^2+1}

Untuk lingkaran dengan pusat $(a, b)$ :

y - b = m(x - a) \pm r\sqrt{1 + m^2}

Garis Singgung dari Titik di Luar Lingkaran

Dari sebuah titik di luar lingkaran, dapat ditarik $dua garis singgung$ ke lingkaran tersebut.

Dua Garis Singgung dari Titik Luar

Dari titik

P

di luar lingkaran dapat ditarik dua garis singgung.

Panjang Garis Singgung

Jika $P(x_1, y_1)$ adalah titik di luar lingkaran dengan pusat $O(a, b)$ dan jari-jari $r$ , maka panjang ruas garis singgung dari $P$ ke titik singgung adalah:

Pada segitiga siku-siku $OPT$ , ruas $OP$ adalah $sisi miring$ dan $OT=r$ . Maka teorema Pythagoras memberi:

PT^2+OT^2=OP^2\quad\Longrightarrow\quad PT=\sqrt{OP^2-r^2}

Garis Singgung Persekutuan Dua Lingkaran

Garis Singgung Persekutuan Luar

Garis singgung persekutuan luar menyinggung kedua lingkaran $tanpa memotong ruas garis$ di antara kedua pusatnya.

Garis Singgung Persekutuan Luar

Garis yang menyinggung kedua lingkaran dari sisi yang sama.

Panjang garis singgung persekutuan luar:

l = \sqrt{d^2 - (r_1 - r_2)^2}

Pada rumus ini, $d$ adalah jarak antara kedua pusat lingkaran.

Garis Singgung Persekutuan Dalam

Garis singgung persekutuan dalam adalah garis yang menyinggung kedua lingkaran dan memotong $ruas garis penghubung kedua pusat$ .

Garis Singgung Persekutuan Dalam

Garis yang menyinggung kedua lingkaran dari sisi yang berlawanan.

Panjang garis singgung persekutuan dalam:

l = \sqrt{d^2 - (r_1 + r_2)^2}

Ruas garis singgung dalam dengan panjang positif hanya ada jika $d>r_1+r_2$ . Pada saat sama dengan, kedua lingkaran bersinggungan luar dan ruas antara kedua titik singgung panjangnya nol.

Menentukan Persamaan Garis Singgung

Menentukan Garis Singgung Melalui Titik pada Lingkaran

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $x^2 + y^2 = 25$ di titik $(3, 4)$ .

$Penyelesaian$ :

Karena titik $(3, 4)$ terletak pada lingkaran (dapat diverifikasi: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$ ), maka persamaan garis singgungnya:

x_1 \cdot x + y_1 \cdot y = r^2

Menentukan Garis Singgung dengan Gradien Tertentu

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $x^2 + y^2 = 16$ yang sejajar dengan garis $3x - 4y + 5 = 0$ .

$Penyelesaian$ :

Gradien garis $3x - 4y + 5 = 0$ adalah $m = \frac{3}{4}$ .

Persamaan garis singgung dengan gradien $m = \frac{3}{4}$ :

y = mx \pm r\sqrt{1 + m^2}

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah:

$y = \frac{3}{4}x + 5$ atau $3x - 4y + 20 = 0$
$y = \frac{3}{4}x - 5$ atau $3x - 4y - 20 = 0$

Menghitung Panjang Garis Singgung dari Titik Luar

Tentukan panjang garis singgung dari titik $P(7, 1)$ ke lingkaran $x^2 + y^2 = 25$ .

$Penyelesaian$ :

Pusat lingkaran $O(0, 0)$ dan jari-jari $r = 5$ .

PT = \sqrt{(x_1 - a)^2 + (y_1 - b)^2 - r^2}

Latihan Soal

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $x^2 + y^2 = 36$ di titik $(-3, 3\sqrt{3})$ !
Tentukan persamaan kedua garis singgung lingkaran $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25$ yang tegak lurus dengan garis $2x + y - 5 = 0$ !
Dari titik $A(10, 0)$ ditarik garis singgung ke lingkaran $x^2 + y^2 = 36$ . Tentukan panjang ruas dari $A$ ke setiap titik singgung dan koordinat kedua titik singgung.
Dua lingkaran masing-masing berpusat di $O_1(-4, 0)$ dengan jari-jari $2$ dan $O_2(4, 0)$ dengan jari-jari $3$ . Tentukan panjang garis singgung persekutuan luar!
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$ yang melalui titik $(8, -2)$ !

Pembahasan

$Pembahasan 1$ : Persamaan garis singgung di $titik pada lingkaran$

Verifikasi $titik pada lingkaran$ :

(-3)^2 + (3\sqrt{3})^2 = 9 + 27 = 36 \space \checkmark

Persamaan garis singgung:

x_1 \cdot x + y_1 \cdot y = r^2

$Pembahasan 2$ : Garis singgung $tegak lurus$ dengan garis tertentu

Gradien garis $2x + y - 5 = 0$ adalah $m_1 = -2$ .

Karena $tegak lurus$ , maka $m_2 = \frac{1}{2}$ .

Persamaan garis singgung:

y - b = m(x - a) \pm r\sqrt{1 + m^2}

Jadi: $x - 2y - 8 \pm 5\sqrt{5} = 0$

$Pembahasan 3$ : Garis singgung dari titik luar

Panjang garis singgung:

\begin{aligned} AT &= \sqrt{10^2 + 0^2 - 36} \\ &= \sqrt{100 - 36} \\ &= \sqrt{64} \\ &= 8 \end{aligned}

Untuk mencari titik singgung, misalkan $T(x,y)$ salah satunya. Karena jari-jari $OT$ $tegak lurus$ garis singgung $AT$ , $hasil kali titik$ kedua vektor arahnya sama dengan nol:

(A-T)\cdot T=0

Jadi, titik singgungnya adalah $T_1\left(\frac{18}{5},\frac{24}{5}\right)$ dan $T_2\left(\frac{18}{5},-\frac{24}{5}\right)$ .

$Pembahasan 4$ : $Garis singgung persekutuan luar$

d = \sqrt{(4-(-4))^2 + (0-0)^2} = 8

$Pembahasan 5$ : Garis singgung melalui $titik pada lingkaran$

$Lengkapkan kuadrat$ untuk membaca pusat dan jari-jari:

\begin{aligned}x^2-6x+y^2+4y&=12\\(x-3)^2-9+(y+2)^2-4&=12\\(x-3)^2+(y+2)^2&=25\end{aligned}

Pusat $(3, -2)$ , jari-jari $r = 5$

Periksa bahwa titik $(8, -2)$ terletak pada lingkaran:

\begin{aligned} (8-3)^2 + (-2+2)^2 &= 25 + 0 \\ &= 25 \end{aligned}

Ruas kiri bernilai $r^2=25$ , sehingga titik tersebut berada pada lingkaran. Maka persamaan garis singgungnya:

\begin{aligned} &(8-3)(x-3) \\ &\quad{}+ (-2+2)(y+2) = 25 \end{aligned}