Garis Singgung Persekutuan Luar dan Dalam

Pengertian Garis Singgung Persekutuan

Garis singgung persekutuan adalah garis yang menyinggung dua lingkaran sekaligus. Terdapat dua jenis garis singgung persekutuan:

Garis Singgung Persekutuan Luar: Garis yang menyinggung kedua lingkaran dari sisi yang sama
Garis Singgung Persekutuan Dalam: Garis yang menyinggung kedua lingkaran dari sisi yang berlawanan

Konsep Garis Singgung Persekutuan Luar

Garis singgung persekutuan luar menyinggung kedua lingkaran tanpa memotong ruas garis di antara kedua pusatnya.

Garis Singgung Persekutuan Luar

Dua garis singgung persekutuan luar pada dua lingkaran.

Rumus Panjang Garis Singgung Persekutuan Luar

Untuk dua lingkaran dengan:

Pusat lingkaran pertama: $O_1$
Pusat lingkaran kedua: $O_2$
Jari-jari lingkaran pertama: $r_1$

Panjang garis singgung persekutuan luar:

l = \sqrt{d^2 - (r_2 - r_1)^2}

Ruas dengan panjang positif ini ada jika $d > |r_2-r_1|$ . Pada keadaan sama dengan, kedua lingkaran bersinggungan dalam dan hanya memiliki garis singgung yang melalui titik singgungnya.

Mencari Panjang Garis Singgung Persekutuan Luar

Dua lingkaran masing-masing berpusat di $A(-3, 0)$ dengan jari-jari $1{,}5$ dan $B(3, 0)$ dengan jari-jari $2{,}5$ . Tentukan panjang garis singgung persekutuan luar!

Lingkaran dengan

r_1 = 1{,}5

dan

r_2 = 2{,}5

Visualisasi garis singgung persekutuan luar.

Penyelesaian:

\begin{aligned} d &= \sqrt{(3-(-3))^2 + (0-0)^2} \\ &= \sqrt{36} \\ &= 6 \end{aligned}

Jadi, panjang garis singgung persekutuan luar adalah $\sqrt{35} \text{ satuan}$ .

Konsep Garis Singgung Persekutuan Dalam

Garis singgung persekutuan dalam adalah garis yang menyinggung kedua lingkaran dari sisi yang berlawanan dan memotong garis yang menghubungkan kedua pusat lingkaran.

Garis Singgung Persekutuan Dalam

Dua garis singgung persekutuan dalam pada dua lingkaran.

Rumus Panjang Garis Singgung Persekutuan Dalam

l = \sqrt{d^2 - (r_1 + r_2)^2}

Syarat: Ruas garis singgung persekutuan dalam memiliki panjang positif jika $d > r_1 + r_2$ . Saat keduanya sama, kedua lingkaran bersinggungan luar: kedua titik singgung berimpit, panjang ruasnya nol, dan hanya tersisa satu garis singgung persekutuan dalam.

Mencari Panjang Garis Singgung Persekutuan Dalam

Dua lingkaran masing-masing berpusat di $P(-5, 0)$ dengan jari-jari $2$ dan $Q(5, 0)$ dengan jari-jari $3$ . Tentukan panjang garis singgung persekutuan dalam!

Lingkaran dengan

r_1 = 2

dan

r_2 = 3

Visualisasi garis singgung persekutuan dalam.

Penyelesaian:

Pertama, periksa apakah garis singgung persekutuan dalam ada:

\begin{aligned} d &= \sqrt{(5-(-5))^2 + (0-0)^2} \\ &= \sqrt{100} \\ &= 10 \end{aligned}

Karena syarat terpenuhi, maka:

l = \sqrt{d^2 - (r_1 + r_2)^2}

Jadi, panjang garis singgung persekutuan dalam adalah $5\sqrt{3} \text{ satuan}$ .

Lingkaran dengan Radius Sama

Ketika dua lingkaran memiliki jari-jari yang sama ( $r_1 = r_2 = r$ ), kedua garis singgung persekutuannya menjadi lebih sederhana. Garis singgung persekutuan luar sejajar dengan garis yang menghubungkan kedua pusat, sedangkan garis singgung persekutuan dalam tegak lurus terhadap garis itu dan melewatinya di titik tengah.

Garis Singgung Persekutuan Luar

Garis Singgung Persekutuan Luar untuk Jari-jari Sama

Garis singgung persekutuan luar sejajar dengan garis pusat.

Untuk $r_1 = r_2$ :

Garis singgung persekutuan luar sejajar dengan garis yang menghubungkan kedua pusat
Panjang garis singgung persekutuan luar adalah $d$ (jarak antara pusat)

Kasus Berbagai Posisi Lingkaran

Tentukan panjang garis singgung persekutuan luar dan dalam untuk lingkaran-lingkaran berikut. Catat dulu jarak kedua pusat dan kedua jari-jarinya: garis singgung luar memakai $l = \sqrt{d^2 - (r_2 - r_1)^2}$ , garis singgung dalam memakai .

Lingkaran Berjauhan

Lingkaran pertama berpusat di $(-6, 0)$ dengan jari-jari $1$ , lingkaran kedua berpusat di $(6, 0)$ dengan jari-jari $2$ .

Kasus: Lingkaran Berjauhan

Kedua jenis garis singgung persekutuan ada.

Penyelesaian:

d = \sqrt{(6-(-6))^2 + (0-0)^2} = 12

Lingkaran Berdekatan

Lingkaran pertama berpusat di $(-2, 0)$ dengan jari-jari $1{,}5$ , lingkaran kedua berpusat di $(2, 0)$ dengan jari-jari $1{,}5$ .

Kasus: Lingkaran Berdekatan dengan Jari-jari Sama

Garis singgung persekutuan luar sejajar, dalam berpotongan di tengah.

Penyelesaian:

d = \sqrt{(2-(-2))^2 + (0-0)^2} = 4

Latihan Soal

Soal-soal ini memberi dua lingkaran dan meminta panjang garis singgung persekutuan kedua lingkaran itu. Pisahkan kasus luar dan kasus dalam sebelum memakai rumus panjang yang sesuai.

Dua lingkaran masing-masing berpusat di $A(-4, 0)$ dengan jari-jari $2$ dan $B(4, 0)$ dengan jari-jari $3$ . Tentukan:
- Panjang garis singgung persekutuan luar
- Panjang garis singgung persekutuan dalam

Pembahasan

Menghitung panjang garis singgung persekutuan
$d = \sqrt{(4-(-4))^2 + (0-0)^2} = 8$

Syarat jarak antarpusat	Garis singgung persekutuan	Posisi lingkaran
$d>r_1+r_2$	$4$	terpisah di luar
$d=r_1+r_2$	$3$
$\lvert r_1-r_2\rvert\lt d\lt r_1+r_2$
$d=\lvert r_1-r_2\rvert$	$1$
$d\lt \lvert r_1-r_2\rvert$	$0$