Garis Singgung Persekutuan Luar dan Dalam

Pengertian Garis Singgung Persekutuan

Garis singgung persekutuan adalah garis yang menyinggung dua lingkaran sekaligus. Terdapat dua jenis garis singgung persekutuan:

1. Garis Singgung Persekutuan Luar: Garis yang menyinggung kedua lingkaran dari sisi yang sama
2. Garis Singgung Persekutuan Dalam: Garis yang menyinggung kedua lingkaran dari sisi yang berlawanan

Konsep Garis Singgung Persekutuan Luar

Garis singgung persekutuan luar adalah garis yang menyinggung kedua lingkaran dan tidak memotong garis yang menghubungkan kedua pusat lingkaran.

Rumus Panjang Garis Singgung Persekutuan Luar

Untuk dua lingkaran dengan:

• Pusat lingkaran pertama: $O_1$
• Pusat lingkaran kedua: $O_2$
• Jari-jari lingkaran pertama: $r_1$
• Jari-jari lingkaran kedua: $r_2$
• Jarak antara pusat: $d$

Panjang garis singgung persekutuan luar:

Mencari Panjang Garis Singgung Persekutuan Luar

Dua lingkaran masing-masing berpusat di $A(-3, 0)$ dengan jari-jari $1.5$ dan $B(3, 0)$ dengan jari-jari $2.5$. Tentukan panjang garis singgung persekutuan luar!

Penyelesaian:

Jadi, panjang garis singgung persekutuan luar adalah $\sqrt{35} \text{ satuan}$.

Konsep Garis Singgung Persekutuan Dalam

Garis singgung persekutuan dalam adalah garis yang menyinggung kedua lingkaran dari sisi yang berlawanan dan memotong garis yang menghubungkan kedua pusat lingkaran.

Rumus Panjang Garis Singgung Persekutuan Dalam

Panjang garis singgung persekutuan dalam:

Syarat: Garis singgung persekutuan dalam hanya ada jika $d > r_1 + r_2$ (kedua lingkaran tidak berpotongan).

Mencari Panjang Garis Singgung Persekutuan Dalam

Dua lingkaran masing-masing berpusat di $P(-5, 0)$ dengan jari-jari $2$ dan $Q(5, 0)$ dengan jari-jari $3$. Tentukan panjang garis singgung persekutuan dalam!

Penyelesaian:

Pertama, periksa apakah garis singgung persekutuan dalam ada:

Karena syarat terpenuhi, maka:

Jadi, panjang garis singgung persekutuan dalam adalah $5\sqrt{3} \text{ satuan}$.

Lingkaran dengan Jari-jari Sama

Ketika dua lingkaran memiliki jari-jari yang sama ($r_1 = r_2 = r$), terdapat sifat khusus:

Garis Singgung Persekutuan Luar

Untuk $r_1 = r_2$:

• Garis singgung persekutuan luar sejajar dengan garis yang menghubungkan kedua pusat
• Panjang garis singgung persekutuan luar adalah $d$ (jarak antara pusat)

Kasus Berbagai Posisi Lingkaran

Tentukan panjang garis singgung persekutuan luar dan dalam untuk lingkaran-lingkaran berikut:

Lingkaran Berjauhan

Lingkaran pertama berpusat di $(-6, 0)$ dengan jari-jari $1$, lingkaran kedua berpusat di $(6, 0)$ dengan jari-jari $2$.

Penyelesaian:

Lingkaran Berdekatan

Lingkaran pertama berpusat di $(-2, 0)$ dengan jari-jari $1.5$, lingkaran kedua berpusat di $(2, 0)$ dengan jari-jari $1.5$.

Penyelesaian:

Latihan Soal

1. Dua lingkaran masing-masing berpusat di $A(-4, 0)$ dengan jari-jari $2$ dan $B(4, 0)$ dengan jari-jari $3$. Tentukan:

   • Panjang garis singgung persekutuan luar
   • Panjang garis singgung persekutuan dalam

2. Lingkaran pertama memiliki pusat $(0, 0)$ dengan jari-jari $4$, lingkaran kedua memiliki pusat $(10, 0)$ dengan jari-jari $2$. Hitunglah panjang kedua jenis garis singgung persekutuan!

3. Dua lingkaran identik masing-masing berjari-jari $3 \text{ cm}$. Jika panjang garis singgung persekutuan dalam adalah $8 \text{ cm}$, tentukan jarak antara kedua pusat lingkaran!

4. Lingkaran $A$ berpusat di $(-5, 0)$ dengan jari-jari $r$, dan lingkaran $B$ berpusat di $(7, 0)$ dengan jari-jari $2r$. Jika panjang garis singgung persekutuan luar adalah $4\sqrt{8}$, tentukan nilai $r$!

5. Tentukan syarat agar dua lingkaran memiliki:

   • Tepat dua garis singgung persekutuan
   • Tepat tiga garis singgung persekutuan
   • Tepat empat garis singgung persekutuan

Kunci Jawaban

1. Menghitung panjang garis singgung persekutuan

   $$d = \sqrt{(4-(-4))^2 + (0-0)^2} = 8$$

   $$l_{luar} = \sqrt{8^2 - (3-2)^2} = \sqrt{64 - 1} = \sqrt{63} = 3\sqrt{7}$$

   $$l_{dalam} = \sqrt{8^2 - (2+3)^2} = \sqrt{64 - 25} = \sqrt{39}$$

2. Lingkaran dengan pusat berbeda

   $$d = \sqrt{(10-0)^2 + (0-0)^2} = 10$$

   $$l_{luar} = \sqrt{10^2 - (4-2)^2} = \sqrt{100 - 4} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6}$$

   $$l_{dalam} = \sqrt{10^2 - (4+2)^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$$

3. Mencari jarak pusat dari panjang garis singgung dalam

   Diketahui: $r_1 = r_2 = 3$, $l_{dalam} = 8$

   $$l = \sqrt{d^2 - (r_1 + r_2)^2}$$

   $$8 = \sqrt{d^2 - 6^2}$$

   $$64 = d^2 - 36$$

   $$d^2 = 100$$

   $$d = 10 \text{ cm}$$

4. Mencari nilai $r$

   Diketahui: $d = 12$, $r_1 = r$, $r_2 = 2r$, $l_{luar} = 4\sqrt{8}$

   $$4\sqrt{8} = \sqrt{12^2 - (2r - r)^2}$$

   $$16 \cdot 8 = 144 - r^2$$

   $$128 = 144 - r^2$$

   $$r^2 = 16$$

   $$r = 4$$

5. Syarat jumlah garis singgung persekutuan

   • Tepat $2$ garis singgung: Kedua lingkaran berpotongan di dua titik
   • Tepat $3$ garis singgung: Kedua lingkaran bersinggungan (dalam atau luar)
   • Tepat $4$ garis singgung: Kedua lingkaran terpisah (tidak berpotongan)