Perkalian Matriks dengan Skalar

Skalar yang Sama untuk Setiap Elemen Matriks

Matriks dapat dioperasikan dengan matriks lain atau dikalikan dengan satu bilangan. Bilangan tersebut disebut skalar.

Misalnya, jika setiap elemen dalam matriks pengukuran dinyatakan dalam meter, mengubah seluruh tabel ke sentimeter berarti mengalikan setiap elemen dengan $100$. Perkalian skalar menyatakan satu perubahan yang konsisten tanpa menulis ulang setiap perhitungan secara terpisah.

Cara Mengalikan Matriks dengan Skalar

Perkalian matriks dengan skalar adalah operasi mengalikan setiap elemen dalam matriks dengan sebuah bilangan skalar.

Untuk menghitung $kA$, kalikan setiap elemen matriks $A$ dengan skalar $k$. Perkalian tersebut menghasilkan matriks baru dengan ordo yang sama seperti $A$.

Secara matematis, jika matriks $A$ berordo $m \times n$:

Maka perkalian matriks $A$ dengan skalar $k$ adalah:

Matriks hasil, yaitu $kA$, akan memiliki ordo yang sama dengan matriks $A$.

Untuk bilangan bulat positif $k$, perkalian skalar dapat dipandang sebagai penjumlahan berulang. Misalnya, $2A$ sama dengan $A + A$. Menjumlahkan matriks $A$ sebanyak $k \text{ kali}$ menghasilkan $kA$.

Contoh Perkalian Matriks dengan Skalar

Dua contoh berikut mengalikan setiap entri matriks dengan skalar yang sama.

Contoh 1:

Misalkan kita memiliki matriks $P$ seperti pada contoh berikut:

Tentukan $2P$!

Penyelesaian:

Untuk menghitung $2P$, kita kalikan setiap elemen matriks $P$ dengan skalar $2$.

Matriks di atas adalah hasil $2P$.

Contoh 2:

Diberikan matriks berikut:

Dengan skalar $k=4$, tentukan $4Q$.

Penyelesaian:

Kita akan mengalikan setiap elemen dalam matriks $Q$ dengan skalar $4$.

Tuliskan setiap perkalian dengan tanda kurung: $4(a)$ berarti $4\times a$.

Matriks di atas adalah hasil $4Q$.

Sifat Perkalian Matriks dengan Skalar

Misalkan $A$ dan $B$ adalah matriks berordo sama, $h$ dan $k$ adalah skalar, serta $O$ adalah matriks nol. Perkalian matriks dengan skalar memiliki sifat berikut.

1. Distributif terhadap Penjumlahan Matriks:

   $$k(A + B) = kA + kB$$

   Artinya, mengalikan skalar dengan jumlah dua matriks sama hasilnya dengan menjumlahkan hasil perkalian skalar dengan masing-masing matriks.

2. Distributif terhadap Penjumlahan Skalar:

   $$(h + k)A = hA + kA$$

   Artinya, mengalikan jumlah dua skalar dengan sebuah matriks sama hasilnya dengan menjumlahkan hasil perkalian masing-masing skalar dengan matriks tersebut.

3. Asosiatif terhadap Perkalian Skalar:

   $$(hk)A = h(kA) = k(hA)$$

   Artinya, mengalikan matriks dengan hasil kali dua skalar sama hasilnya dengan mengalikan skalar pertama dengan hasil kali skalar kedua dan matriks.

4. Identitas Perkalian Skalar:

   $$1A = A$$

   Mengalikan matriks dengan skalar $1$ tidak mengubah matriks tersebut.

5. Perkalian dengan Skalar Nol:

   $$0A = O$$

   Mengalikan matriks dengan skalar $0$ menghasilkan matriks nol ($O$), yaitu matriks yang semua elemennya adalah $0$.

6. Perkalian Matriks Nol dengan Skalar:

   $$kO = O$$

   Mengalikan matriks nol dengan skalar apa pun akan menghasilkan matriks nol.

7. Perkalian dengan Skalar $-1$:

   $$(-1)A = -A$$

   Mengalikan matriks dengan skalar $-1$ menghasilkan negatif dari matriks tersebut.

Sifat distributif menguraikan perkalian terhadap penjumlahan, sedangkan sifat identitas dan nol langsung menentukan hasil untuk skalar $1$ dan $0$.

Latihan

Setiap soal di bawah meminta kelipatan skalar dari sebuah matriks. Kalikan setiap entri dengan skalar itu, termasuk entri negatif dan entri nol, dan pertahankan bentuk matriksnya.

1. Diberikan matriks berikut. Hitunglah $3X$.

   $$X = \begin{bmatrix} 5 & -2 \\ 0 & 4 \\ -1 & 7 \end{bmatrix}$$

2. Untuk matriks berikut, tentukan $\frac{1}{10}Y$.

   $$Y = \begin{bmatrix} 10 & 20 \\ -30 & 0 \end{bmatrix}$$

3. Untuk kedua matriks berikut, tunjukkan bahwa $3(A+B) = 3A + 3B$.

   $$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$$

   $$B = \begin{bmatrix} 0 & 5 \\ 6 & -2 \end{bmatrix}$$

Pembahasan Lengkap

1. Penyelesaian:

   $$3X = 3 \begin{bmatrix} 5 & -2 \\ 0 & 4 \\ -1 & 7 \end{bmatrix}$$

   $$= \begin{bmatrix} 3 \times 5 & 3 \times (-2) \\ 3 \times 0 & 3 \times 4 \\ 3 \times (-1) & 3 \times 7 \end{bmatrix}$$

   $$= \begin{bmatrix} 15 & -6 \\ 0 & 12 \\ -3 & 21 \end{bmatrix}$$

2. Penyelesaian:

   $$\frac{1}{10}Y = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 10 & 20 \\ -30 & 0 \end{bmatrix}$$

   $$= \begin{bmatrix} \frac{1}{10} \times 10 & \frac{1}{10} \times 20 \\ \frac{1}{10} \times (-30) & \frac{1}{10} \times 0 \end{bmatrix}$$

   $$= \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -3 & 0 \end{bmatrix}$$

3. Untuk menunjukkan $3(A+B) = 3A + 3B$:

   Pertama, kita hitung sisi kiri persamaan, yaitu $3(A+B)$.

   $$\begin{aligned} A+B &= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 5 \\ 6 & -2 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 2+0 & 1+5 \\ 3+6 & 4+(-2) \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 2 & 6 \\ 9 & 2 \end{bmatrix} \end{aligned}$$

   Maka,

   $$3(A+B) = 3 \begin{bmatrix} 2 & 6 \\ 9 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 18 \\ 27 & 6 \end{bmatrix}$$

   Selanjutnya, kita hitung sisi kanan persamaan, yaitu $3A + 3B$.

   $$3A = 3 \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 3 \\ 9 & 12 \end{bmatrix}$$

   $$3B = 3 \begin{bmatrix} 0 & 5 \\ 6 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 15 \\ 18 & -6 \end{bmatrix}$$

   Maka,

   $$\begin{aligned} &3A + 3B \\ &= \begin{bmatrix} 6 & 3 \\ 9 & 12 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 15 \\ 18 & -6 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 6+0 & 3+15 \\ 9+18 & 12+(-6) \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 6 & 18 \\ 27 & 6 \end{bmatrix} \end{aligned}$$

   Kedua perhitungan menghasilkan matriks yang sama, sehingga $3(A+B) = 3A + 3B$.