For AI agents: use /llms.txt for the Nakafa content index.
Perkalian matriks adalah operasi fundamental dalam aljabar linear. Berbeda dengan penjumlahan atau pengurangan matriks yang elemennya langsung dioperasikan, perkalian matriks memiliki aturan tersendiri.
Dua matriks, katakanlah matriks dan matriks , dapat dikalikan () hanya jika .
Misalkan matriks memiliki ordo (artinya baris dan kolom) dan matriks memiliki ordo (artinya baris dan kolom).
Karena jumlah kolom matriks () sama dengan jumlah baris matriks (), maka matriks dan dapat dikalikan.
Hasil perkaliannya, sebut saja matriks , akan memiliki ordo .
Elemen pada matriks (yaitu elemen pada baris ke- dan kolom ke-) dihitung dengan mengalikan setiap elemen pada baris ke- dari matriks dengan elemen yang bersesuaian pada kolom ke- dari matriks , kemudian menjumlahkan semua hasil perkalian tersebut.
Secara matematis, jika dan , maka elemen dari matriks adalah:
Notasi (sigma) berarti penjumlahan.
Dalam rumus di atas, kita menjumlahkan hasil perkalian untuk semua nilai dari sampai .
Mari kita lihat contoh sederhana untuk memahami prosesnya.
Misalkan kita punya matriks dan .
Matriks berordo dan matriks juga berordo . Jumlah kolom (yaitu ) sama dengan jumlah baris (yaitu ), jadi kita bisa mengalikannya. Hasilnya, , akan berordo .
Elemen-elemen matriks dihitung sebagai berikut:
Diberikan dua matriks:
Matriks berordo dan matriks berordo .
Jumlah kolom matriks (yaitu ) sama dengan jumlah baris matriks (yaitu ).
Jadi, dapat dihitung dan akan menghasilkan matriks berordo .
Mari kita hitung :
Jadi, hasil perkalian matriks adalah:
Sekarang, bagaimana dengan ?
Matriks berordo dan matriks berordo .
Jumlah kolom matriks (yaitu ) tidak sama dengan jumlah baris matriks (yaitu ).
Oleh karena itu, perkalian tidak terdefinisi. Ini menunjukkan salah satu sifat penting perkalian matriks.
Perkalian matriks memiliki beberapa sifat penting:
Umumnya Tidak Komutatif:
Artinya, . Kita sudah melihat contoh di atas di mana terdefinisi tetapi tidak. Bahkan jika keduanya terdefinisi, hasilnya belum tentu sama.
Asosiatif:
Jika perkalian matriks dan terdefinisi, maka berlaku . Artinya, urutan pengelompokan perkalian tidak mengubah hasil akhir.
Distributif:
Perkalian matriks bersifat distributif terhadap penjumlahan atau pengurangan matriks:
Perkalian dengan Matriks Identitas ():
Jika adalah matriks persegi berordo dan adalah matriks identitas berordo , maka berlaku:
Perkalian dengan Skalar ():
Jika adalah sebuah skalar (bilangan riil), maka:
Perkalian matriks sangat berguna dalam berbagai bidang, salah satunya untuk mengelola data dan menghitung nilai agregat.
Bayangkan sebuah industri rumahan memproduksi tiga jenis makanan: keripik tempe, keripik pisang, dan keripik kentang.
Makanan tersebut dipasarkan ke tiga tempat: Tempat A, Tempat B, dan Tempat C.
Banyaknya keripik (dalam toples) yang terjual di setiap tempat disajikan dalam matriks . Kolom-kolom pada matriks berturut-turut menunjukkan Tempat A, Tempat B, dan Tempat C, sedangkan baris-barisnya berturut-turut menunjukkan keripik tempe, keripik pisang, dan keripik kentang.
Baris pertama () berarti toples keripik tempe terjual di Tempat A, di Tempat B, dan di Tempat C.
Harga untuk setiap toples keripik (dalam rupiah) dinyatakan dalam matriks kolom berikut:
Untuk menentukan total pendapatan dari setiap jenis keripik di semua tempat, kita bisa mengalikan matriks dengan matriks .
Namun, perhatikan ordo matriks. Matriks berordo dan matriks berordo . Jumlah kolom () sama dengan jumlah baris (), sehingga dapat dihitung dan akan menghasilkan matriks berordo .
Matriks akan menunjukkan total pendapatan untuk setiap jenis keripik.
Dari matriks , kita bisa melihat bahwa total pendapatan dari penjualan keripik tempe adalah , keripik pisang , dan keripik kentang .
Jika pertanyaannya adalah "tentukan matriks pendapatan untuk setiap tempat", maka kita perlu mengatur matriks harga secara berbeda atau melakukan perkalian dengan transpos dari .
Misalkan kita ingin mencari total pendapatan di Tempat A, Tempat B, dan Tempat C. Kita bisa menggunakan matriks harga sebagai matriks baris dan mengalikannya dengan matriks : .
Matriks berordo dan berordo . Hasilnya akan berordo .
Maka, .
Ini berarti total pendapatan dari Tempat A adalah , dari Tempat B adalah , dan dari Tempat C adalah .
Interpretasi elemen matriks hasil perkalian sangat bergantung pada bagaimana matriks awal didefinisikan dan bagaimana perkalian dilakukan.
Diberikan matriks-matriks berikut:
Tentukan matriks dan matriks .
Apakah ?
Menghitung :
Matriks berordo dan berordo . Hasilnya akan berordo .
Menghitung :
Matriks berordo dan berordo . Hasilnya akan berordo .
Dari hasil di atas, terlihat bahwa dan .
Jadi, . Ini adalah contoh lain yang menunjukkan bahwa perkalian matriks umumnya tidak bersifat komutatif.
Ini berlaku jika semua operasi penjumlahan dan perkalian yang terlibat terdefinisi.
Matriks identitas berperan seperti angka dalam perkalian bilangan biasa.
