Derajat Polinomial

Derajat Monomial

Setiap monomial dalam polinomial memiliki karakteristik yang disebut derajat. Derajat ini ditentukan oleh pangkat (eksponen) dari variabel-variabelnya. Untuk satu variabel, derajatnya adalah pangkat itu sendiri, sedangkan untuk beberapa variabel derajatnya adalah jumlah seluruh pangkat pada suku tersebut.

Derajat Monomial Satu Variabel

Jika monomial hanya memiliki satu variabel, seperti $ax^n$, derajatnya adalah pangkat dari variabel tersebut, yaitu $n$.

Contoh:

• Monomial $4x^5$ memiliki derajat $5$.
• Monomial $0{,}12x$ (atau $0{,}12x^1$) memiliki derajat $1$.

Derajat Monomial Banyak Variabel

Jika monomial memiliki lebih dari satu variabel, derajatnya adalah jumlah dari semua pangkat variabelnya.

Contoh:

• Monomial $\frac{3}{4}x^2y^7$ memiliki derajat $2 + 7 = 9$.
• Monomial $2{,}17x^3yz^3$ (ingat $y = y^1$) memiliki derajat $3 + 1 + 3 = 7$.

Derajat Konstanta

Bagaimana dengan konstanta (bilangan tanpa variabel), misalnya $5$? Konstanta tak nol dianggap memiliki derajat $0$, karena kita bisa menuliskannya sebagai $5x^0$ (mengingat $x^0 = 1$).

Berikut rangkuman contoh derajat monomial dalam tabel:

Definisi Derajat Monomial

Derajat suatu monomial (dengan koefisien tak nol) adalah jumlah dari eksponen semua variabelnya. Untuk monomial $ax^n$, derajatnya adalah $n$. Konstanta tak nol berderajat nol, karena variabelnya dapat ditulis dengan pangkat nol.

Menentukan Derajat Polinomial

Derajat polinomial ditentukan dari derajat suku-suku tak nolnya.

Derajat suatu polinomial adalah derajat tertinggi dari suku-suku (monomial) yang menyusun polinomial tersebut.

Langkah-langkah menentukan derajat polinomial:

1. Identifikasi semua suku (monomial) dalam polinomial.
2. Tentukan derajat dari setiap suku.
3. Pilih derajat tertinggi di antara semua suku tersebut. Itulah derajat polinomialnya.

Contoh 1:

Tentukan derajat dari polinomial berikut:

• Suku $8x^3$ memiliki derajat $3$.
• Suku $-36x^2$ memiliki derajat $2$.
• Suku $54x$ (atau $54x^1$) memiliki derajat $1$.
• Suku $-27$ (konstanta) memiliki derajat $0$.

Derajat tertinggi dari suku-sukunya adalah $3$. Jadi, derajat polinomial tersebut adalah $3$.

Contoh 2:

Tentukan derajat dari polinomial berikut:

• Suku $5x^4y^2$ memiliki derajat $4 + 2 = 6$.
• Suku $xy^2$ (atau $x^1y^2$) memiliki derajat $1 + 2 = 3$.
• Suku $-2x^5y^6$ memiliki derajat $5 + 6 = 11$.

Derajat tertinggi dari suku-sukunya adalah $11$. Jadi, derajat polinomial tersebut adalah $11$.

Contoh 3:

Tentukan derajat dari polinomial berikut:

• Suku $0{,}13x^3$ derajat $3$.
• Suku $1{,}56x^2$ derajat $2$.
• Suku $-2{,}24x$ derajat $1$.
• Suku $1{,}72$ derajat $0$.

Derajat tertinggi adalah $3$. Jadi, derajat polinomial tersebut adalah $3$.

Definisi Derajat Polinomial

Derajat suatu polinomial adalah derajat tertinggi dari suku-sukunya. Pada $4x^3 - 2x + 7$, ketiga sukunya berderajat $3$, $1$, dan $0$, sehingga derajat tertinggi itulah yang menentukan derajat seluruh polinomial.

Derajat Polinomial Nol

Apakah derajat dari $0$ adalah $0$, karena $0$ bisa ditulis sebagai $0x^0$?

Secara umum dalam matematika:

• Konstanta tak nol (seperti $5, -27, 1{,}72$) memiliki derajat $0$.
• Polinomial nol tidak mempunyai suku tak nol. Salah satu konvensi menetapkan bahwa derajat polinomial nol tidak terdefinisi. Konvensi lain memberi nilai formal negatif tak hingga ($-\infty$) agar aturan seperti $\deg(PQ)=\deg P+\deg Q$ tetap berlaku ketika $P$, $Q$, atau keduanya merupakan polinomial nol.

Latihan berikut memakai konvensi pertama, sehingga derajat polinomial nol dianggap tidak terdefinisi. Konstanta tak nol berderajat $0$. Untuk polinomial lain, derajat polinomial adalah pangkat tertinggi pada suku dengan koefisien tak nol.

Latihan

Tentukan derajat dari

Kemudian jelaskan mengapa aturan yang sama tidak dapat menetapkan derajat $0$ untuk polinomial nol.

Pembahasan

Tentukan jumlah pangkat pada setiap suku tak nol:

• $4x^3y^2$ berderajat $3+2=5$.
• $-7x^2y^5$ berderajat $2+5=7$.
• $6$ berderajat $0$.

Derajat suku terbesar adalah $7$, sehingga $\deg P=7$.

Polinomial nol tidak memiliki suku tak nol yang dapat dipilih sebagai suku berderajat terbesar. Karena itu, derajat polinomial nol tidak didefinisikan. Jika derajat polinomial nol ditetapkan sebagai $0$, beberapa aturan derajat polinomial tidak lagi berlaku.