Faktorisasi Penuh Polinomial

Menulis Polinomial sebagai Perkalian Faktor Linear

Kita telah belajar memfaktorkan polinomial, misalnya menggunakan Teorema Faktor. Namun, terkadang hasil pemfaktoran masih menyisakan faktor yang bukan linier (seperti faktor kuadrat) yang tidak dapat difaktorkan lebih lanjut menggunakan bilangan real.

Faktorisasi penuh atau faktorisasi linier penuh mengubah polinomial menjadi perkalian faktor-faktor linier. Faktornya dapat melibatkan bilangan kompleks.

Konsep ini didasarkan pada Teorema Fundamental Aljabar: setiap polinomial berderajat $n\ge1$ memiliki tepat $n$ akar kompleks jika multiplisitasnya dihitung. Akar real termasuk di antara akar kompleks tersebut.

Sifat Faktorisasi Penuh Polinomial

Jika $P(x)$ adalah polinomial berderajat $n \ge 1$ dengan koefisien utama $a_n \neq 0$, maka ada bilangan-bilangan kompleks $c_1, c_2, \dots, c_n$ (yang merupakan akar-akar dari $P(x)$) sedemikian sehingga:

Artinya, setiap polinomial berderajat $n$ dapat dipecah menjadi tepat $n$ faktor linier $(x - \text{akar})$ dikalikan dengan koefisien utamanya.

Langkah Faktorisasi Penuh

Untuk melakukan faktorisasi penuh suatu polinomial $P(x)$:

1. Cari Semua Akar Kompleks: Temukan semua $n$ akar (pembuat nol) kompleks dari $P(x) = 0$. Ini mungkin melibatkan:

   • Memfaktorkan secara langsung (grouping, dll.).
   • Menggunakan Teorema Pembuat Nol Rasional untuk menemukan akar rasional.
   • Menggunakan pembagian (Horner/bersusun) untuk menurunkan derajat polinomial setelah satu akar ditemukan.
   • Menyelesaikan persamaan kuadrat (dengan rumus kuadratik) yang mungkin menghasilkan akar kompleks $a \pm bi$.

2. Terapkan Teorema Faktor: Untuk setiap akar $c_i$ yang ditemukan, bentuk faktor liniernya, yaitu $(x - c_i)$.

3. Tulis Faktorisasi Penuh: Kalikan semua faktor linier yang didapat dengan koefisien utama $a_n$ dari $P(x)$.

   $$\begin{aligned} &P(x)= \\ &a_n(x - c_1)(x - c_2)\dots(x - c_n) \end{aligned}$$

Menggunakan Faktorisasi Penuh

Tentukan semua pembuat nol kompleks dari $P(x) = x^3 - x^2 + x - 1$ dan faktorkan polinomial tersebut secara penuh.

Penyelesaian:

1. Cari Akar: Kita coba faktorkan $P(x)$ terlebih dahulu.

   • Faktorkan dengan pengelompokan (grouping):

     $$P(x) = (x^3 - x^2) + (x - 1)$$

     $$P(x) = x^2(x - 1) + 1(x - 1)$$

     $$P(x) = (x^2 + 1)(x - 1)$$

   • Sekarang, cari akar dengan menyetarakan $P(x) = 0$:

     $$(x^2 + 1)(x - 1) = 0$$

   • Ini memberikan dua kemungkinan:

     $$x - 1 = 0 \implies x = 1$$

     $$\begin{aligned} x^2 + 1 &= 0 \\ &\implies x^2 \\ &= -1 \\ &\implies x \\ &= \pm\sqrt{-1} \\ &\implies x \\ &= \pm i \end{aligned}$$

   Jadi, akar-akar kompleksnya adalah $1, i, -i$.

2. Bentuk Faktor Linier:

   • Dari akar $1$, faktornya $(x - 1)$.
   • Dari akar $i$, faktornya $(x - i)$.
   • Dari akar $-i$, faktornya $(x - (-i)) = (x + i)$.

3. Tulis Faktorisasi Penuh:

   Koefisien utama $P(x)$ adalah $a_3 = 1$.

   $$P(x) = 1 \cdot (x - 1)(x - i)(x + i)$$

   $$P(x) = (x - 1)(x - i)(x + i)$$

Latihan

Tentukan semua pembuat nol kompleks dari $P(x) = x^3 - 3x^2 + x + 5$, kemudian faktorkan $P(x)$ tersebut secara penuh. Mulailah dari kemungkinan pembuat nol rasional, uji dengan substitusi, lalu bagi polinomialnya untuk setiap faktor yang ditemukan sampai tersisa bentuk kuadrat.

Kunci Jawaban

1. Cari Akar Rasional (Teorema Pembuat Nol Rasional):

   • $a_0 = 5$, faktor $p$: $\pm 1, \pm 5$.

   • $a_n = 1$, faktor $q$: $\pm 1$.

   • Kemungkinan akar $p/q$: $\pm 1, \pm 5$.

   • Uji $x = -1$:

     $$\begin{aligned} P(-1) &= (-1)^3-3(-1)^2 \\ &\quad{}+(-1)+5 \\ &= -1-3(1)-1+5 \\ &= -1-3-1+5 \\ &= 0 \end{aligned}$$

     Jadi, $x = -1$ adalah akar, dan $(x+1)$ adalah faktor.

2. Bagi dengan Horner ($c = -1$):

   $$\begin{array}{c|cccc} -1 & 1 & -3 & 1 & 5 \\ & & -1 & 4 & -5 \\ \hline & 1 & -4 & 5 & \boxed{0} \\ \end{array}$$

   Hasil bagi $H(x) = x^2 - 4x + 5$.

   $P(x) = (x+1)(x^2 - 4x + 5)$.

3. Cari Akar dari Hasil Bagi: Selesaikan $x^2 - 4x + 5 = 0$ dengan rumus kuadratik.

   $$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(5)}}{2(1)}$$

   $$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2}$$

   $$x = \frac{4 \pm \sqrt{-4}}{2}$$

   $$x = \frac{4 \pm 2i}{2}$$

   $$x = 2 \pm i$$

   Akar lainnya adalah $2 + i$ dan $2 - i$.

4. Semua Akar Kompleks: Akar-akarnya adalah $-1, 2+i, 2-i$.

5. Faktorisasi Penuh ($a_n = 1$):

   $$\begin{aligned} &P(x) \\ &=1\cdot(x-(-1)) \\ &\quad{}\cdot(x-(2+i))(x-(2-i)) \end{aligned}$$

   $$\begin{aligned} &P(x) \\ &= (x + 1)(x - 2 - i)(x - 2 + i) \end{aligned}$$

Akar Tak Real pada Polinomial Real

Apakah polinomial berkoefisien real dapat memiliki tepat satu akar kompleks non-real? Tidak.

Ini disebabkan oleh sifat pasangan akar konjugat. Jika sebuah polinomial memiliki koefisien-koefisien real, maka akar-akar kompleks non-realnya ($a + bi$ dengan $b \neq 0$) selalu muncul dalam pasangan konjugat.

Artinya, jika $a + bi$ adalah akar, maka konjugatnya, $a - bi$, juga pasti merupakan akar dari polinomial tersebut.

Jadi, akar kompleks nonreal pada polinomial berkoefisien real selalu muncul sebagai pasangan konjugat. Karena itu, polinomial tersebut tidak mungkin memiliki tepat satu akar kompleks nonreal.