Teorema Sisa

Menghitung Sisa Pembagian dari Nilai Polinomial

Sisa pembagian polinomial sering dapat ditentukan tanpa menyelesaikan pembagian bersusun atau skema Horner. Teorema Sisa menghubungkan sisa tersebut langsung dengan satu nilai polinomial. Nilai yang dipakai adalah akar dari pembaginya, yaitu nilai yang membuat pembaginya sama dengan nol.

Pernyataan Teorema Sisa

Jika suatu polinomial $P(x)$ dibagi oleh $(x - c)$ , maka sisa pembagiannya adalah $S = P(c)$ .

Untuk mencari sisa pembagian $P(x)$ oleh $(x-c)$ , hitung $P(x)$ pada $x=c$ .

Pada $P(x) = 2x^2 - 3x + 4$ yang dibagi $x - 2$ , sisanya adalah $P(2) = 6$ , jadi satu substitusi sudah menjawab soalnya.

Mengapa Teorema Sisa Berlaku

Teorema ini berasal langsung dari algoritma pembagian polinomial yang sudah kita kenal:

P(x) = (x - c) \cdot H(x) + S

Keterangan:

$P(x)$ adalah polinomial yang dibagi.
$(x - c)$ adalah polinomial pembagi (berderajat $1$ ).
$H(x)$ adalah hasil bagi.
$S$ adalah sisa pembagian (berupa konstanta, karena pembagi berderajat $1$ ).

Sekarang, coba kita substitusikan $x = c$ ke dalam persamaan algoritma pembagian tersebut:

P(c) = (c - c) \cdot H(c) + S

Terbukti bahwa nilai polinomial $P(x)$ saat $x = c$ sama dengan sisa $S$ ketika $P(x)$ dibagi oleh $(x - c)$ .

Menghitung Teorema Sisa

Teorema ini menentukan sisa secara langsung sekaligus menjelaskan mengapa evaluasi polinomial muncul dalam soal pembagian. Substitusi nilai yang membuat pembaginya nol mengubah pembagian menjadi satu evaluasi, dan cara itu biasanya lebih singkat.

Tentukan sisa pembagian jika $P(x) = 2x^5 + 5x^4 - 10x^3 + 9x^2 - 10$ dibagi oleh $x + 4$ .

Menggunakan Metode Horner

Pembagi adalah $x + 4$ , atau $x - (-4)$ , jadi $c = -4$ .

Koefisien $P(x)$ (lengkapi suku $x$ ): $2, 5, -10, 9, 0, -10$ .

\begin{array}{c|cccccc} -4 & 2 & 5 & -10 & 9 & 0 & -10 \\ & & -8 & 12 & -8 & -4 & 16 \\ \hline & 2 & -3 & 2 & 1 & -4 & \boxed{6} \\ \end{array}

Dari metode Horner, kita dapatkan:

Hasil Bagi: $H(x) = 2x^4 - 3x^3 + 2x^2 + x - 4$
Sisa: $S = \boxed{6}$

Menggunakan Teorema Sisa

Menurut Teorema Sisa, sisa pembagian $P(x)$ oleh $x - (-4)$ adalah $P(-4)$ .

Hitung $P(-4)$ :

\begin{aligned} P(-4) &= 2(-4)^5 + 5(-4)^4 \\ &\quad{}- 10(-4)^3 + 9(-4)^2 - 10 \end{aligned}

Kedua metode memberikan sisa $6$ . Teorema Sisa mendapatkannya tanpa menyelesaikan seluruh skema pembagian.

Menghitung $P(c)$ dengan demikian memberikan tepat sisa pembagian oleh $(x-c)$ .

Latihan

Jika $P(x) = 3x^5 - 20x^4 - 6x^3 - 48x - 8$ dibagi dengan $x - 7$ , tentukan sisanya menggunakan Teorema Sisa. Pembagi $x - 7$ berkaitan dengan nilai $x = 7$ , sehingga satu substitusi sudah cukup. Hitung nilai polinomialnya pada nilai itu, lalu laporkan angka yang diperoleh sebagai sisanya.

Pembahasan

Menurut Teorema Sisa, sisa pembagian $P(x)$ oleh $x - 7$ adalah $P(7)$ .

\begin{aligned} P(7) &= 3(7)^5 - 20(7)^4 \\ &\quad{}- 6(7)^3 - 48(7) - 8 \end{aligned}

Jadi, sisa pembagiannya adalah $-1$ .