Kuartil Data Kelompok

Letak Kuartil dalam Tabel Frekuensi Berkelompok

Pada data tunggal, setiap nilai dapat diurutkan dan posisinya dapat ditentukan langsung. Tabel frekuensi berkelompok hanya memuat interval, misalnya $70\text{-}79$ dan $80\text{-}89$, beserta banyak data di setiap interval. Tabel tersebut tidak memuat nilai satu per satu.

Seperti pada median data kelompok, $Q_1$, $Q_2$, dan $Q_3$ perlu diperkirakan dengan interpolasi. Perhitungan ini menempatkan setiap kuartil di dalam kelas interval yang memuat posisi sasarannya.

Posisi setiap kuartil dihitung dengan rumus berikut:

• Letak $Q_1$ adalah data ke-$\frac{1}{4}n$
• Letak $Q_2$ adalah data ke-$\frac{2}{4}n$ (atau $\frac{1}{2}n$)
• Letak $Q_3$ adalah data ke-$\frac{3}{4}n$

Pada rumus ini, $n$ adalah banyaknya data.

Langkah Mencari Nilai Kuartil Data Kelompok

Anggap kita punya data penjualan sepatu di Toko A dalam bentuk tabel frekuensi berkelompok. Tabel itu mencantumkan setiap kelas interval dan banyak pasang sepatu di dalamnya, dan kuartilnya diperkirakan dengan interpolasi di kelas yang memuat posisi yang dicari. Kerjakan langkahnya sambil membuka tabel, karena semua nilai yang disubstitusi berasal dari sana.

Buat Tabel Frekuensi Kumulatif

Pertama, tambahkan kolom frekuensi kumulatif ($F_k$) pada tabel. Frekuensi kumulatif menjumlahkan frekuensi dari kelas pertama sampai kelas yang sedang dibaca. Kolom ini menentukan kelas yang memuat setiap kuartil.

Misalnya, ini tabel penjualan sepatu:

Tepi bawah adalah batas bawah kelas dikurangi $0{,}5$.

Tepi atas adalah batas atas kelas ditambah $0{,}5$.

Panjang kelas adalah tepi atas dikurangi tepi bawah.

Tentukan Letak Kelas Kuartil

Kita cari dulu posisi data ke berapa si kuartil itu.

Total data ($n$) adalah $30$.

• Letak $Q_1$: data ke $\frac{1}{4} \times 30 = 7{,}5$.

  Pada kolom $F_k$, kelas pertama berakhir di posisi $2$ dan kelas kedua berakhir di posisi $13$. Posisi $3$ hingga $13$ berada di kelas kedua, sehingga posisi $7{,}5$ termasuk kelas $40\text{-}42$.

• Letak $Q_2$ (Median): data ke $\frac{1}{2} \times 30 = 15$.

  Lihat $F_k$. Data ke-$15$ ada di kelas $43\text{-}45$ (karena $F_k$ sebelumnya $13$, dan $F_k$ kelas ini $23$).

• Letak $Q_3$: data ke $\frac{3}{4} \times 30 = 22{,}5$.

  Lihat $F_k$. Data ke-$22{,}5$ ada di kelas $43\text{-}45$ juga (karena $F_k$ sebelumnya $13$, dan $F_k$ kelas ini $23$).

Perkirakan Nilai Kuartil dengan Interpolasi

Setelah kelas kuartil diketahui, perkirakan nilainya di dalam interval tersebut dengan:

Pada rumus ini:

• $Q_i$ = Nilai Kuartil ke-i (yang kita cari)
• $T_b$ = Tepi bawah kelas kuartil ke-i
• $n$ = Jumlah seluruh frekuensi
• $F_{\text{kum}}$ = frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil ke-$i$
• $f_i$ = Frekuensi kelas kuartil ke-i
• $p$ = Panjang kelas interval

Interpolasi ini mengasumsikan bahwa data tersebar merata di dalam kelas terpilih. Hasilnya merupakan perkiraan berdasarkan model dan tidak dapat mengembalikan nilai asli yang hilang akibat pengelompokan.

Mencari Kuartil Penjualan Sepatu

Kita hitung $Q_1$ dari tabel di atas.

1. Letak $Q_1$: Data ke-$7{,}5$.

2. Kelas $Q_1$: $40\text{-}42$.

3. Catat nilai dalam rumus:

   • Tepi bawah kelas $Q_1$ ($T_b$) adalah $39{,}5$
   • Jumlah data ($n$) adalah $30$
   • Frekuensi kumulatif sebelum kelas $Q_1$ ($F_{\text{kum}}$) adalah $2$ (lihat $F_k$ kelas $37\text{-}39$)
   • Frekuensi kelas $Q_1$ ($f_1$) adalah $11$
   • Panjang kelas ($p$) adalah $3$

4. Masukkan ke rumus:

   $$Q_1 = T_b + \left( \frac{\frac{1}{4}n - F_{\text{kum}}}{f_1} \right) p$$

   $$Q_1 = 39{,}5 + \left( \frac{7{,}5 - 2}{11} \right) 3$$

   $$Q_1 = 39{,}5 + \left( \frac{5{,}5}{11} \right) 3$$

   $$Q_1 = 39{,}5 + (0{,}5) \times 3$$

   $$Q_1 = 39{,}5 + 1{,}5$$

   $$Q_1 = 41$$

Jadi, nilai $Q_1$ adalah $41$. Artinya, sekitar $25\%$ sepatu yang terjual ukurannya $41$ atau lebih kecil.

Latihan

Hitung $Q_3$ dari data penjualan sepatu Toko A pada tabel di atas.

Kemudian, bandingkan langkah interpolasi kuartil data kelompok dengan cara menentukan kuartil data tunggal. Mengapa tabel kelompok hanya memberikan perkiraan?

Kunci Jawaban

1. Letak $Q_3$: Data ke-$22{,}5$.

2. Kelas $Q_3$: $43\text{-}45$.

3. Kumpulkan bahan:

   • $T_b = 42{,}5$ (tepi bawah kelas $Q_3$ )
   • $n = 30$ (jumlah data)
   • $F_{\text{kum}} = 13$ (lihat $F_k$ kelas $40\text{-}42$)
   • $f_3 = 10$ (frekuensi kelas $Q_3$)
   • $p = 3$ (panjang kelas)

4. Masukkan ke rumus:

   $$Q_3 = T_b + \left( \frac{\frac{3}{4}n - F_{\text{kum}}}{f_3} \right) p$$

   $$Q_3 = 42{,}5 + \left( \frac{22{,}5 - 13}{10} \right) 3$$

   $$Q_3 = 42{,}5 + \left( \frac{9{,}5}{10} \right) 3$$

   $$Q_3 = 42{,}5 + (0{,}95) \times 3$$

   $$Q_3 = 42{,}5 + 2{,}85$$

   $$Q_3 = 45{,}35$$

Perkiraan nilai $Q_3$ adalah $45{,}35$. Dalam model data kelompok ini, sekitar $75\%$ sepatu yang terjual berukuran $45{,}35$ atau lebih kecil. Sisanya, sekitar $25\%$, berukuran lebih besar dari $45{,}35$.

Perbandingan dengan Data Tunggal:

Kuartil data kelompok dihitung dengan interpolasi karena tabel hanya memuat interval dan frekuensi tanpa setiap nilai asli. Perhitungan tersebut menghasilkan perkiraan nilai kuartil.

Pada data tunggal, semua nilai yang telah diurutkan diketahui. Karena itu, konvensi kuartil yang dipilih dapat mengambil satu nilai atau menginterpolasi langsung di antara dua nilai yang diketahui. Interpolasi data kelompok kurang presisi karena nilai di dalam setiap kelas tidak lagi tersedia.