Aturan Rantai pada Turunan

Fungsi Bersusun

Pada fungsi komposisi, keluaran suatu fungsi menjadi masukan bagi fungsi lain. Jika $g(x)$ adalah fungsi dalam dan $f(u)$ adalah fungsi luar, komposisinya ditulis $y = f(g(x))$.

Aturan rantai menjelaskan cara menurunkan susunan ini tanpa mengabaikan pengaruh fungsi dalam.

Teorema Aturan Rantai

Fungsi dalam tetap berada di dalam fungsi luar, sehingga turunan fungsi komposisi mengalikan dua laju yang bekerja berurutan.

Jika $y = f(g(x))$, dengan $g$ dapat diturunkan di $x$ dan $f$ dapat diturunkan di $g(x)$, turunannya adalah turunan fungsi luar yang dihitung pada fungsi dalam, dikalikan dengan turunan fungsi dalam.

Secara formal, jika kita memisalkan $u = g(x)$, maka $y = f(u)$. Turunannya didefinisikan sebagai:

Inilah aturan rantai. Kerjakan dari lapisan terluar ke dalam, pertahankan setiap ekspresi dalam sampai gilirannya diturunkan, lalu kalikan semua turunan.

Penerapan Aturan Rantai

Contoh berikut menunjukkan proses yang sama untuk susunan dua dan tiga lapisan. Pada setiap contoh, sebutkan dulu fungsi luar dan fungsi dalam sebelum menurunkan, karena aturan rantai mengalikan turunan luar dengan turunan dalam.

Fungsi Bentuk Pangkat

Tentukan turunan pertama dari $y = (x^2 - 4x - 2)^8$.

Penyelesaian:

Pertama, kita perlu memecah fungsi ini menjadi dua bagian: fungsi luar dan fungsi dalam.

• Fungsi dalam ($u$) adalah ekspresi yang ada di dalam kurung: $u = x^2 - 4x - 2$.
• Fungsi luar ($y$) adalah operasi pangkatnya: $y = u^8$.

Selanjutnya, kita cari turunan dari masing-masing fungsi:

• Turunan fungsi dalam: $\frac{du}{dx} = 2x - 4$.
• Turunan fungsi luar: $\frac{dy}{du} = 8u^7$.

Sekarang, kita bisa gabungkan keduanya pakai aturan rantai:

Terakhir, kita substitusikan kembali $u$ dan sederhanakan ekspresinya:

Fungsi Trigonometri

Tentukan turunan pertama dari $y = \cos^4(3 - 4x)$.

Penyelesaian:

Fungsi ini dapat ditulis ulang menjadi $y = (\cos(3 - 4x))^4$. Karena ada tiga lapisan fungsi, aturan rantai harus diterapkan lebih dari sekali.

• Fungsi terdalam: $v = 3 - 4x$
• Fungsi tengah: $u = \cos(v)$
• Fungsi terluar: $y = u^4$

Kemudian, kita turunkan setiap lapisan:

• Turunan fungsi terluar: $\frac{dy}{du} = 4u^3$
• Turunan fungsi tengah: $\frac{du}{dv} = -\sin(v)$
• Turunan fungsi terdalam: $\frac{dv}{dx} = -4$

Gabungkan semuanya dengan aturan rantai:

Sekarang, substitusikan kembali $u$ dan $v$ secara bertahap untuk mendapatkan hasil akhir:

Latihan

Setiap soal menyarangkan satu fungsi di dalam fungsi lain, sehingga aturan rantai diperlukan. Tentukan fungsi luar dan fungsi dalam lebih dulu.

1. Tentukan turunan pertama dari $y = (3x^2 - 1)^3$.
2. Tentukan turunan pertama dari $y = \sin^3(2x)$.

Kunci Jawaban

1. Penyelesaian untuk $y = (3x^2 - 1)^3$

   Langkah 1: Kenali fungsinya

   • Fungsi dalam: $u = 3x^2 - 1$
   • Fungsi luar: $y = u^3$

   Langkah 2: Cari turunan masing-masing

   • $\frac{du}{dx} = 6x$
   • $\frac{dy}{du} = 3u^2$

   Langkah 3: Gabungkan dengan aturan rantai

   $$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$$

   $$\frac{dy}{dx} = 3u^2 \cdot 6x = 18x \cdot u^2$$

   Langkah 4: Jangan lupa substitusi balik

   $$\frac{dy}{dx} = 18x(3x^2 - 1)^2$$

2. Penyelesaian untuk $y = \sin^3(2x)$

   Fungsi ini adalah $y = (\sin(2x))^3$. Kita gunakan aturan rantai berlapis.

   Langkah 1: Kenali fungsinya

   • Fungsi terdalam: $v = 2x$
   • Fungsi tengah: $u = \sin(v)$
   • Fungsi terluar: $y = u^3$

   Langkah 2: Cari turunan masing-masing

   • $\frac{dv}{dx} = 2$
   • $\frac{du}{dv} = \cos(v)$
   • $\frac{dy}{du} = 3u^2$

   Langkah 3: Gabungkan dengan aturan rantai

   $$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}$$

   $$\frac{dy}{dx} = (3u^2) \cdot (\cos(v)) \cdot (2)$$

   Langkah 4: Substitusi balik dan sederhanakan

   $$\frac{dy}{dx} = 6u^2 \cos(v)$$

   $$\frac{dy}{dx} = 6\sin^2(v) \cos(v)$$

   $$\frac{dy}{dx} = 6\sin^2(2x) \cos(2x)$$