Fungsi Naik dan Turun

Perilaku Fungsi dan Turunannya

Saat grafik dibaca dari kiri ke kanan, kurvanya dapat naik, turun, atau mendatar sesaat. Perilaku ini disebut kemonotonan fungsi. Tanda turunan pertama menentukan perilaku fungsi pada setiap interval.

Tanda gradien menunjukkan arah lokal kurva:

• Gradien positif berarti fungsi naik.

• Gradien negatif berarti fungsi turun.

• Gradien nol menandai titik stasioner, tetapi titik tersebut belum tentu maksimum atau minimum.

Secara geometris, $f'(x)$ adalah gradien garis singgung. Tandanya menunjukkan arah lokal kurva.

Sifat Kemonotonan Fungsi

Hubungan antara turunan pertama dan perilaku fungsi dapat kita rangkum dalam sifat-sifat berikut:

Misalkan fungsi $y = f(x)$ kontinu dan dapat diturunkan (diferensiabel) pada suatu interval.

• Jika $f'(x) > 0$ untuk semua $x$ dalam interval tersebut, maka $f(x)$ adalah fungsi naik.

• Jika $f'(x) < 0$ untuk semua $x$ dalam interval tersebut, maka $f(x)$ adalah fungsi turun.

• Jika $f'(x) = 0$ pada titik tertentu, maka $f(x)$ memiliki titik stasioner di sana.

Titik stasioner membagi domain menjadi beberapa interval yang dapat diuji. Titik ini merupakan calon tempat perubahan kemonotonan, tetapi fungsi hanya beralih dari naik ke turun atau sebaliknya jika tanda turunannya berubah.

Menganalisis Interval Fungsi

Contoh berikut menunjukkan seluruh proses analisis tanda.

Tentukan interval agar fungsi $f(x) = x^3 - 3x$ merupakan fungsi naik dan fungsi turun.

Penyelesaian:

Langkah 1: Cari turunan pertama

Pertama, kita turunkan fungsi $f(x)$.

Langkah 2: Temukan titik stasioner

Titik stasioner terjadi saat $f'(x) = 0$.

Dari sini, kita dapatkan titik-titik stasionernya adalah $x = 1$ dan $x = -1$.

Langkah 3: Buat garis bilangan dan uji interval

Kita letakkan titik stasioner pada garis bilangan. Titik-titik ini membagi garis menjadi tiga interval. Kita ambil satu titik uji dari setiap interval untuk mengetahui tanda $f'(x)$ (positif atau negatif).

• Interval $x < -1$:

  Ambil $x=-2$. $f'(-2) = 3(-2)^2 - 3 = 9$ (Positif, fungsi naik).

• Interval $-1 < x < 1$:

  Ambil $x=0$. $f'(0) = 3(0)^2 - 3 = -3$ (Negatif, fungsi turun).

• Interval $x > 1$:

  Ambil $x=2$. $f'(2) = 3(2)^2 - 3 = 9$ (Positif, fungsi naik).

Langkah 4: Simpulkan intervalnya

Berdasarkan pengujian, kita dapat menyimpulkan:

• Fungsi naik pada interval $x < -1$ atau $x > 1$.

• Fungsi turun pada interval $-1 < x < 1$.

Latihan

Setiap soal meminta selang naik dan turun suatu fungsi. Tentukan titik stasionernya lebih dulu, karena titik itu memisahkan selangnya.

1. Tentukan interval fungsi naik dan interval fungsi turun pada kurva $f(x) = x^3 - 3x^2 - 15$.

2. Jika $f(x) = ax^3 + x^2 + 5$ naik di seluruh interval $0 < x < 2$, tentukan semua nilai $a$ yang mungkin.

3. Tentukan interval ketika $f(x) = \sin 2x \cos 2x$ naik dan turun.

Kunci Jawaban

1. Penyelesaian:

   Turunan pertama dari $f(x) = x^3 - 3x^2 - 15$ adalah $f'(x) = 3x^2 - 6x$.

   Titik stasioner didapat saat $f'(x) = 0$.

   $$3x^2 - 6x = 0 \implies 3x(x - 2) = 0$$

   Titik stasionernya adalah $x=0$ dan $x=2$.

   Dengan menguji interval pada garis bilangan:

   • Untuk $x<0$, $f'(x)$ positif (naik).

   • Untuk $0<x<2$, $f'(x)$ negatif (turun).

   • Untuk $x>2$, $f'(x)$ positif (naik).

   Jadi, fungsi naik pada $x < 0$ atau $x > 2$, dan turun pada interval $0 < x < 2$.

2. Penyelesaian:

   Agar fungsi ini naik di seluruh interval, cukup mensyaratkan $f'(x) \ge 0$ pada setiap titik dalam interval tersebut.

   $$f'(x) = 3ax^2 + 2x = x(3ax + 2)$$

   Pada interval $0 < x < 2$, faktor $x$ selalu positif. Oleh karena itu, agar $f'(x) \ge 0$, faktor kedua yaitu $(3ax + 2)$ juga harus non-negatif.

   $$3ax + 2 \ge 0$$

   Ketidaksamaan ini harus berlaku untuk setiap $x$ pada $0 < x < 2$. Karena $h(x) = 3ax + 2$ linear, nilai batas terkecilnya didekati pada salah satu ujung interval.

   • Jika $a \ge 0$, maka $3ax \ge 0$, sehingga $3ax+2$ positif di seluruh interval.

   • Jika $a < 0$, maka $h(x)$ menurun. Karena $x=2$ tidak termasuk interval, $h$ tidak memiliki nilai minimum di sana. Namun, infimumnya adalah nilai batas saat $x \to 2^-$. Nilai batas tersebut harus non-negatif.

   Evaluasi syarat batas pada $x=2$:

   $$3a(2) + 2 \ge 0$$

   $$6a \ge -2$$

   $$a \ge -1/3$$

   Dengan menggabungkan kedua kasus, fungsi naik di seluruh interval tepat ketika $a \ge -1/3$.

3. Penyelesaian:

   Gunakan identitas trigonometri sudut ganda: $\sin(2A) = 2\sin(A)\cos(A)$.

   Maka, $f(x) = \sin 2x \cos 2x = \frac{1}{2} \sin(4x)$.

   Turunan pertamanya adalah:

   $$f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \cos(4x) \cdot 4 = 2\cos(4x)$$

   • Fungsi naik saat $f'(x) > 0$, yaitu $2\cos(4x) > 0$ atau $\cos(4x) > 0$. Ini terjadi di kuadran $\mathrm{I}$ dan $\mathrm{IV}$.

     $$-\frac{\pi}{2} + 2k\pi < 4x < \frac{\pi}{2} + 2k\pi$$

     $$-\frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2} < x < \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}$$

     Interval ini berlaku untuk setiap $k$ bilangan bulat.

   • Fungsi turun saat $f'(x) < 0$, yaitu $\cos(4x) < 0$. Ini terjadi di kuadran $\mathrm{II}$ dan $\mathrm{III}$.

     $$\frac{\pi}{2} + 2k\pi < 4x < \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$$

     $$\frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2} < x < \frac{3\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}$$

     Interval ini berlaku untuk setiap $k$ bilangan bulat.