For AI agents: use /llms.txt for the Nakafa content index.
Saat grafik dibaca dari kiri ke kanan, kurvanya dapat naik, turun, atau mendatar sesaat. Perilaku ini disebut kemonotonan fungsi. Tanda turunan pertama menentukan perilaku fungsi pada setiap interval.
Tanda gradien menunjukkan arah lokal kurva:
Gradien positif berarti fungsi naik.
Gradien negatif berarti fungsi turun.
Gradien nol menandai titik stasioner, tetapi titik tersebut belum tentu maksimum atau minimum.
Secara geometris, adalah gradien garis singgung. Tandanya menunjukkan arah lokal kurva.
Hubungan antara turunan pertama dan perilaku fungsi dapat kita rangkum dalam sifat-sifat berikut:
Misalkan fungsi kontinu dan dapat diturunkan (diferensiabel) pada suatu interval.
Jika untuk semua dalam interval tersebut, maka adalah fungsi naik.
Jika untuk semua dalam interval tersebut, maka adalah fungsi turun.
Jika pada titik tertentu, maka memiliki titik stasioner di sana.
Titik stasioner membagi domain menjadi beberapa interval yang dapat diuji. Titik ini merupakan calon tempat perubahan kemonotonan, tetapi fungsi hanya beralih dari naik ke turun atau sebaliknya jika tanda turunannya berubah.
Contoh berikut menunjukkan seluruh proses analisis tanda.
Tentukan interval agar fungsi merupakan fungsi naik dan fungsi turun.
Penyelesaian:
Langkah : Cari turunan pertama
Pertama, kita turunkan fungsi .
Langkah : Temukan titik stasioner
Titik stasioner terjadi saat .
Dari sini, kita dapatkan titik-titik stasionernya adalah dan .
Langkah : Buat garis bilangan dan uji interval
Kita letakkan titik stasioner pada garis bilangan. Titik-titik ini membagi garis menjadi tiga interval. Kita ambil satu titik uji dari setiap interval untuk mengetahui tanda (positif atau negatif).
Interval :
Ambil . (Positif, fungsi naik).
Interval :
Ambil . (Negatif, fungsi turun).
Interval :
Ambil . (Positif, fungsi naik).
Langkah : Simpulkan intervalnya
Berdasarkan pengujian, kita dapat menyimpulkan:
Fungsi naik pada interval atau .
Fungsi turun pada interval .
Tentukan interval fungsi naik dan interval fungsi turun pada kurva .
Jika naik di seluruh interval , tentukan semua nilai yang mungkin.
Tentukan interval ketika naik dan turun.
Penyelesaian:
Turunan pertama dari adalah .
Titik stasioner didapat saat .
Titik stasionernya adalah dan .
Dengan menguji interval pada garis bilangan:
Untuk , positif (naik).
Untuk , negatif (turun).
Jadi, fungsi naik pada atau , dan turun pada interval .
Penyelesaian:
Agar fungsi ini naik di seluruh interval, cukup mensyaratkan pada setiap titik dalam interval tersebut.
Penyelesaian:
Gunakan identitas trigonometri sudut ganda: .
Maka, .
Diterbitkan: . Diperbarui: .
Untuk , positif (naik).
Pada interval , faktor selalu positif. Oleh karena itu, agar , faktor kedua yaitu juga harus non-negatif.
Ketidaksamaan ini harus berlaku untuk setiap pada . Karena linear, nilai batas terkecilnya didekati pada salah satu ujung interval.
Jika , maka , sehingga positif di seluruh interval.
Jika , maka menurun. Karena tidak termasuk interval, tidak memiliki nilai minimum di sana. Namun, infimumnya adalah nilai batas saat . Nilai batas tersebut harus non-negatif.
Evaluasi syarat batas pada :
Dengan menggabungkan kedua kasus, fungsi naik di seluruh interval tepat ketika .
Turunan pertamanya adalah:
Fungsi naik saat , yaitu atau . Ini terjadi di kuadran dan .
Interval ini berlaku untuk setiap bilangan bulat.
Fungsi turun saat , yaitu . Ini terjadi di kuadran dan .
Interval ini berlaku untuk setiap bilangan bulat.
