Nilai Ekstrem dan Uji Turunan Pertama serta Kedua

Titik Ekstrem

Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering mencari nilai terbaik, misalnya keuntungan terbesar, biaya terkecil, atau jarak terdekat. Dalam matematika, nilai optimal ini disebut nilai ekstrem, yang dapat berupa nilai maksimum atau nilai minimum. Titik pada grafik tempat nilai tersebut terjadi disebut titik ekstrem.

Ekstrem lokal di bagian dalam domain fungsi yang dapat diturunkan merupakan titik stasioner, yaitu titik dengan $f'(x)=0$ . Secara lebih umum, ekstrem lokal juga dapat terjadi ketika turunan tidak terdefinisi atau pada ujung domain. Setiap titik stasioner perlu diperiksa lebih lanjut untuk menentukan apakah titik itu benar-benar ekstrem lokal. Pemeriksaan berikut memakai Uji Turunan Pertama dan Uji Turunan Kedua.

Uji Turunan Pertama

Metode ini berfokus pada perubahan perilaku fungsi, yaitu naik atau turun, di sekitar titik stasioner. Dengan melihat perubahan tanda dari $f'(x)$ , kita bisa mengidentifikasi jenis titik stasionernya.

Nilai Balik Maksimum: Terjadi jika fungsi berubah dari naik menjadi turun. Ini berarti tanda $f'(x)$ berubah dari positif (+) menjadi negatif (-), seperti di lereng menuju puncak bukit.
Nilai Balik Minimum: Terjadi jika fungsi berubah dari turun menjadi naik. Tanda $f'(x)$ berubah dari negatif (-) menjadi positif (+), seperti di dasar lembah.
Bukan Ekstrem Lokal: Jika tanda $f'(x)$ tidak berubah, titik stasioner tersebut bukan maksimum maupun minimum lokal. Titik itu mungkin merupakan titik belok horizontal, tetapi kita tetap perlu memeriksa apakah kecekungannya berubah.

Visualisasi berikut menunjukkan garis singgung horizontal pada maksimum dan minimum lokal.

Visualisasi Uji Turunan Pertama

Garis bantu horizontal menunjukkan tempat gradien bernilai nol pada maksimum dan minimum lokal.

Tentukan nilai stasioner $f(x) = x(x-3)^2$ dengan uji turunan pertama.

Penyelesaian:

Langkah 1: Cari turunan pertama

Kita jabarkan dulu fungsinya: $f(x) = x(x^2 - 6x + 9) = x^3 - 6x^2 + 9x$ .

Turunannya adalah:

f'(x) = 3x^2 - 12x + 9

Langkah 2: Temukan titik stasioner

Atur $f'(x) = 0$ .

3x^2 - 12x + 9 = 0

Titik stasioner terjadi pada $x = 1$ dan $x = 3$ .

Langkah 3: Uji tanda di sekitar titik stasioner

Sekitar $x = 1$ : Untuk $x < 1$ (misal $x=0$ ), $f'(0) = 9$ (positif). Untuk $x > 1$ (misal $x=2$ ), $f'(2) = -3$ (negatif). Karena tanda berubah dari (+) ke (-), maka $x=1$ adalah titik balik maksimum.
Sekitar $x = 3$ : Untuk $x < 3$ (misal $x=2$ ), $f'(2) = -3$ (negatif). Untuk $x > 3$ (misal $x=4$ ), $f'(4) = 9$ (positif). Karena tanda berubah dari (-) ke (+), maka $x=3$ adalah titik balik minimum.

Langkah 4: Tentukan nilai stasioner

Untuk mendapatkan nilai balik (nilai $y$ ), substitusikan koordinat $x$ titik stasioner ( $x=1$ dan $x=3$ ) kembali ke fungsi awal $f(x)$ .

Nilai maksimum lokal: $f(1) = 1(1-3)^2 = 4$ .
Nilai minimum lokal: $f(3) = 3(3-3)^2 = 0$ .

Jadi, nilai maksimum lokalnya adalah $4$ di $(1,4)$ , sedangkan nilai minimum lokalnya adalah $0$ di $(3,0)$ .

Visualisasi Titik Ekstrem

Visualisasi kurva

f(x) = x(x-3)^2

dengan garis singgung horizontal pada titik maksimum dan minimumnya.

Uji Turunan Kedua

Metode ini tidak memerlukan pengujian interval. Uji ini memakai turunan kedua, $f''(x)$ , untuk menentukan kecekungan kurva pada titik stasioner.

Misalkan $f'(c) = 0$ dan $f''$ kontinu pada suatu selang yang memuat $c$ .

Jika $f''(c) < 0$ , maka $f(c)$ adalah nilai maksimum lokal. Di titik itu, kurva cekung ke bawah seperti mangkuk terbalik.
Jika $f''(c) > 0$ , maka $f(c)$ adalah nilai minimum lokal. Di titik itu, kurva cekung ke atas seperti mangkuk terbuka.
Jika $f''(c) = 0$ , hasil uji ini belum menentukan jenis titiknya. Gunakan Uji Turunan Pertama atau argumen lain. Titik tersebut bisa berupa maksimum, minimum, titik belok, atau bukan ketiganya.

Tentukan nilai-nilai ekstrem dari $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + 2$ dengan uji turunan kedua.

Penyelesaian:

Langkah 1: Cari turunan pertama dan kedua

f'(x) = x^2 - 2x - 3

Langkah 2: Temukan titik stasioner

x^2 - 2x - 3 = 0

Titik stasioner terjadi pada $x = 3$ dan $x = -1$ .

Langkah 3: Uji titik stasioner ke turunan kedua

Untuk $x = 3$ : $f''(3) = 2(3) - 2 = 4$ . Karena $4 > 0$ , titik ini merupakan minimum lokal.
Untuk $x = -1$ : $f''(-1) = 2(-1) - 2 = -4$ . Karena $-4 < 0$ , titik ini merupakan maksimum lokal.

Langkah 4: Hitung nilai ekstrem

Substitusikan $x=3$ dan $x=-1$ ke fungsi awal untuk mendapatkan nilai ekstrimnya.

Nilai minimum lokal: $f(3) = \frac{1}{3}(3)^3 - (3)^2 - 3(3) + 2 = 9 - 9 - 9 + 2 = -7$ .
Nilai maksimum lokal: $f(-1) = \frac{1}{3}(-1)^3 - (-1)^2 - 3(-1) + 2 = -\frac{1}{3} - 1 + 3 + 2 = \frac{11}{3}$ .

Kurva cekung ke bawah di titik $x=-1$ dan cekung ke atas di titik $x=3$ .

Visualisasi Uji Turunan Kedua

Grafik

f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + 2

. Garis bantu menandai titik maksimum di

x=-1

, tempat kurva cekung ke bawah, dan titik minimum di

x=3

, tempat kurva cekung ke atas.

Latihan

Setiap soal meminta titik stasioner atau nilai ekstrem. Samakan turunan pertama dengan nol, lalu periksa apakah titik itu maksimum atau minimum. Langkah kedua memerlukan turunan kedua, karena garis singgung yang mendatar saja belum menentukan jenis titiknya.

Tentukan titik stasioner untuk fungsi $y = x^2 + 2x - 3$ .

Pembahasan

Penyelesaian:

Langkah 1: Cari turunan pertama

$f'(x) = 2x + 2$

Langkah 2: Cari titik stasioner

Atur $f'(x) = 0$ .

$2x + 2 = 0 \implies x = -1$

Langkah 3: Cari nilai $y$

Substitusikan $x = -1$ ke fungsi awal.

$\begin{aligned} y &= (-1)^2 + 2(-1) - 3 \\ &= 1 - 2 - 3 \\ &= -4 \end{aligned}$

Jadi, titik stasionernya adalah $(-1, -4)$ . Dengan Uji Turunan Kedua ( $f''(x)=2 > 0$ ), titik ini adalah titik minimum.

Titik Ekstrem

Uji Turunan Pertama

Nilai Balik Maksimum: Terjadi jika fungsi berubah dari naik menjadi turun. Ini berarti tanda $f'(x)$ berubah dari positif (+) menjadi negatif (-), seperti di lereng menuju puncak bukit.
Nilai Balik Minimum: Terjadi jika fungsi berubah dari turun menjadi naik. Tanda $f'(x)$ berubah dari negatif (-) menjadi positif (+), seperti di dasar lembah.
Bukan Ekstrem Lokal: Jika tanda $f'(x)$ tidak berubah, titik stasioner tersebut bukan maksimum maupun minimum lokal. Titik itu mungkin merupakan titik belok horizontal, tetapi kita tetap perlu memeriksa apakah kecekungannya berubah.

Visualisasi berikut menunjukkan garis singgung horizontal pada maksimum dan minimum lokal.

Visualisasi Uji Turunan Pertama

Garis bantu horizontal menunjukkan tempat gradien bernilai nol pada maksimum dan minimum lokal.

Tentukan nilai stasioner $f(x) = x(x-3)^2$ dengan uji turunan pertama.

Penyelesaian:

Langkah 1: Cari turunan pertama

Kita jabarkan dulu fungsinya: $f(x) = x(x^2 - 6x + 9) = x^3 - 6x^2 + 9x$ .

Turunannya adalah:

f'(x) = 3x^2 - 12x + 9

Langkah 2: Temukan titik stasioner

Atur $f'(x) = 0$ .

3x^2 - 12x + 9 = 0

Titik stasioner terjadi pada $x = 1$ dan $x = 3$ .

Langkah 3: Uji tanda di sekitar titik stasioner

Sekitar $x = 1$ : Untuk $x < 1$ (misal $x=0$ ), $f'(0) = 9$ (positif). Untuk $x > 1$ (misal $x=2$ ), $f'(2) = -3$ (negatif). Karena tanda berubah dari (+) ke (-), maka $x=1$ adalah titik balik maksimum.
Sekitar $x = 3$ : Untuk $x < 3$ (misal $x=2$ ), $f'(2) = -3$ (negatif). Untuk $x > 3$ (misal $x=4$ ), $f'(4) = 9$ (positif). Karena tanda berubah dari (-) ke (+), maka $x=3$ adalah titik balik minimum.

Langkah 4: Tentukan nilai stasioner

Untuk mendapatkan nilai balik (nilai $y$ ), substitusikan koordinat $x$ titik stasioner ( $x=1$ dan $x=3$ ) kembali ke fungsi awal $f(x)$ .

Nilai maksimum lokal: $f(1) = 1(1-3)^2 = 4$ .
Nilai minimum lokal: $f(3) = 3(3-3)^2 = 0$ .

Jadi, nilai maksimum lokalnya adalah $4$ di $(1,4)$ , sedangkan nilai minimum lokalnya adalah $0$ di $(3,0)$ .

Visualisasi Titik Ekstrem

Visualisasi kurva

f(x) = x(x-3)^2

dengan garis singgung horizontal pada titik maksimum dan minimumnya.

Uji Turunan Kedua

Metode ini tidak memerlukan pengujian interval. Uji ini memakai turunan kedua, $f''(x)$ , untuk menentukan kecekungan kurva pada titik stasioner.

Misalkan $f'(c) = 0$ dan $f''$ kontinu pada suatu selang yang memuat $c$ .

Jika $f''(c) < 0$ , maka $f(c)$ adalah nilai maksimum lokal. Di titik itu, kurva cekung ke bawah seperti mangkuk terbalik.
Jika $f''(c) > 0$ , maka $f(c)$ adalah nilai minimum lokal. Di titik itu, kurva cekung ke atas seperti mangkuk terbuka.
Jika $f''(c) = 0$ , hasil uji ini belum menentukan jenis titiknya. Gunakan Uji Turunan Pertama atau argumen lain. Titik tersebut bisa berupa maksimum, minimum, titik belok, atau bukan ketiganya.

Tentukan nilai-nilai ekstrem dari $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + 2$ dengan uji turunan kedua.

Penyelesaian:

Langkah 1: Cari turunan pertama dan kedua

f'(x) = x^2 - 2x - 3

Langkah 2: Temukan titik stasioner

x^2 - 2x - 3 = 0

Titik stasioner terjadi pada $x = 3$ dan $x = -1$ .

Langkah 3: Uji titik stasioner ke turunan kedua

Untuk $x = 3$ : $f''(3) = 2(3) - 2 = 4$ . Karena $4 > 0$ , titik ini merupakan minimum lokal.
Untuk $x = -1$ : $f''(-1) = 2(-1) - 2 = -4$ . Karena $-4 < 0$ , titik ini merupakan maksimum lokal.

Langkah 4: Hitung nilai ekstrem

Substitusikan $x=3$ dan $x=-1$ ke fungsi awal untuk mendapatkan nilai ekstrimnya.

Nilai minimum lokal: $f(3) = \frac{1}{3}(3)^3 - (3)^2 - 3(3) + 2 = 9 - 9 - 9 + 2 = -7$ .
Nilai maksimum lokal: $f(-1) = \frac{1}{3}(-1)^3 - (-1)^2 - 3(-1) + 2 = -\frac{1}{3} - 1 + 3 + 2 = \frac{11}{3}$ .

Kurva cekung ke bawah di titik $x=-1$ dan cekung ke atas di titik $x=3$ .

Visualisasi Uji Turunan Kedua

Grafik

f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + 2

. Garis bantu menandai titik maksimum di

x=-1

, tempat kurva cekung ke bawah, dan titik minimum di

x=3

, tempat kurva cekung ke atas.

Latihan

Tentukan titik stasioner untuk fungsi $y = x^2 + 2x - 3$ .

Pembahasan

Penyelesaian:

Langkah 1: Cari turunan pertama

$f'(x) = 2x + 2$

Langkah 2: Cari titik stasioner

Atur $f'(x) = 0$ .

$2x + 2 = 0 \implies x = -1$

Langkah 3: Cari nilai $y$

Substitusikan $x = -1$ ke fungsi awal.

$\begin{aligned} y &= (-1)^2 + 2(-1) - 3 \\ &= 1 - 2 - 3 \\ &= -4 \end{aligned}$

Jadi, titik stasionernya adalah $(-1, -4)$ . Dengan Uji Turunan Kedua ( $f''(x)=2 > 0$ ), titik ini adalah titik minimum.