Persamaan Garis Singgung pada Kurva

Hubungan Turunan dan Garis Singgung

Turunan menjelaskan perubahan fungsi pada suatu nilai masukan. Secara geometris, perubahan tersebut tampak sebagai gradien garis singgung pada grafik.

Jika kurva mulus diperbesar di sekitar satu titik, bagian yang sangat kecil akan tampak hampir lurus. Garis yang menunjukkan arah lokal ini disebut garis singgung. Pada $x=a$ di kurva $y=f(x)$, gradiennya sama dengan nilai turunan pada masukan tersebut: $m=f'(a)$.

Menentukan Persamaan Garis Singgung

Untuk menentukan persamaan garis lurus, kita memerlukan satu titik pada garis dan gradiennya. Pada garis singgung, keduanya adalah:

1. Titik Singgung: Sebuah titik $P(a, b)$ tempat garis menyentuh kurva.
2. Gradien (m): Kemiringan garis di titik tersebut, yang kita dapatkan dari turunan, $m = f'(a)$.

Substitusikan kedua nilai tersebut ke bentuk titik-gradien:

Turunkan fungsi, hitung nilai turunannya di titik singgung, lalu gunakan gradien dan titik tersebut dalam persamaan titik-gradien.

Menentukan Garis Singgung Parabola

Tentukan persamaan garis singgung pada parabola $y = 2 - 4x^2$ di titik $(1, -2)$.

Penyelesaian:

Langkah 1: Cari gradien garis singgung

Turunkan $f(x) = 2 - 4x^2$ untuk memperoleh gradien pada setiap nilai masukan.

Titik singgung memiliki $x=1$, sehingga kita menghitung nilai turunan di sana.

Jadi, gradien garis singgungnya adalah $-8$.

Langkah 2: Susun persamaannya

Titik dan gradien yang diperlukan sudah diketahui:

• Titik singgung $(a, b) = (1, -2)$
• Gradien $m = -8$

Substitusikan keduanya ke persamaan titik-gradien:

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $y = -8x + 6$.

Latihan

Setiap soal meminta persamaan garis singgung yang memenuhi syarat tambahan. Pakai turunan untuk mencocokkan gradien yang diminta sebelum menulis persamaannya.

1. Carilah persamaan garis singgung kurva $y = x^2 - 6\frac{1}{5}x + 14\frac{1}{2}$ yang sejajar dengan garis $x + 2y + 3 = 0$.

2. Tentukan persamaan garis singgung parabola $y = 2x^2 - 3x + 5$ pada titik-titik dengan koordinat $y$ sebesar $4$.

3. Kurva $y = 3x - \frac{3}{x^2}$ memotong sumbu $x$ di $P$. Tentukan persamaan garis singgung kurva di titik tersebut.

4. Kurva $y = (x^2 + 2)^2$ memotong sumbu $y$ di $A$. Tunjukkan bahwa garis singgung di $A$ sejajar sumbu $x$ dan berjarak $4 \text{ satuan}$ dari titik asal.

5. Tentukan titik pada kurva $y = 2x^2 - 7x + 1$ tempat garis singgung membentuk sudut $45^\circ$ terhadap arah positif sumbu $x$. Tentukan pula persamaan garis singgung tersebut.

Kunci Jawaban

1. Penyelesaian:

   Langkah 1: Tentukan gradien.

   Garis singgung harus sejajar dengan garis $x + 2y + 3 = 0$. Untuk menemukan gradiennya, kita ubah dulu persamaan garis ini ke bentuk $y = mx + c$.

   $$2y = -x - 3$$

   $$y = -\frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$$

   Dari sini, kita tahu gradien garisnya adalah $m = -\frac{1}{2}$. Karena garis singgungnya sejajar, maka gradiennya juga sama.

   Langkah 2: Cari titik singgung.

   Gradien kurva pada suatu titik sama dengan nilai turunan pertama fungsi di titik tersebut. Pertama, kita cari fungsi turunan dari $f(x) = x^2 - \frac{31}{5}x + \frac{29}{2}$.

   $$f'(x) = 2x - \frac{31}{5}$$

   Kemudian, kita samakan nilai turunan ini dengan gradien yang sudah kita ketahui ($m = -\frac{1}{2}$) untuk menemukan absis ($x$) dari titik singgung.

   $$2x - \frac{31}{5} = -\frac{1}{2}$$

   $$2x = \frac{31}{5} - \frac{1}{2} = \frac{62 - 5}{10} = \frac{57}{10}$$

   $$x = \frac{57}{20}$$

   Setelah mendapatkan koordinat $x$ sebesar $x=\frac{57}{20}$, kita substitusikan nilai ini kembali ke persamaan kurva awal untuk menemukan ordinatnya ($y$).

   $$\begin{aligned}y &= (\frac{57}{20})^2 - \frac{31}{5}(\frac{57}{20}) + \frac{29}{2} \\ &= \frac{3249}{400} - \frac{1767}{100} + \frac{29}{2} \\ &= \frac{3249 - 7068 + 5800}{400} \\ &= \frac{1981}{400}\end{aligned}$$

   Jadi, titik singgungnya adalah $\left(\frac{57}{20}, \frac{1981}{400}\right)$.

   Langkah 3: Susun persamaan garis.

   Dengan titik $\left(\frac{57}{20}, \frac{1981}{400}\right)$ dan gradien $m = -\frac{1}{2}$, persamaannya adalah:

   $$y - \frac{1981}{400} = -\frac{1}{2}\left(x - \frac{57}{20}\right)$$

   $$y = -\frac{1}{2}x + \frac{57}{40} + \frac{1981}{400}$$

   $$y = -\frac{1}{2}x + \frac{570 + 1981}{400}$$

   $$y = -\frac{1}{2}x + \frac{2551}{400}$$

2. Penyelesaian:

   Langkah 1: Cari titik singgung.

   Karena ordinatnya adalah $4$, kita atur $y=4$ pada persamaan parabola.

   $$4 = 2x^2 - 3x + 5$$

   $$2x^2 - 3x + 1 = 0$$

   $$(2x-1)(x-1) = 0$$

   Dari faktorisasi, kita mendapatkan dua nilai absis, yaitu $x=1$ dan $x=\frac{1}{2}$. Ini berarti ada dua titik singgung: $(1, 4)$ dan $\left(\frac{1}{2}, 4\right)$. Karena itu, akan ada dua persamaan garis singgung.

   Langkah 2: Hitung gradien dan buat persamaan untuk setiap titik.

   Kita akan memproses setiap titik singgung secara terpisah. Turunan fungsinya adalah $f'(x) = 4x - 3$.

   Kasus Pertama: Titik $(1, 4)$

   Gradien di titik ini adalah $m = f'(1) = 4(1) - 3 = 1$.

   Maka, persamaannya adalah:

   $$y - 4 = 1(x - 1) \implies y = x + 3$$

   Kasus Kedua: Titik $\left(\frac{1}{2}, 4\right)$

   Gradien di titik ini adalah $m = f'(\frac{1}{2}) = 4(\frac{1}{2}) - 3 = -1$.

   Maka, persamaannya adalah:

   $$\begin{aligned} y - 4 &= -1(x - \frac{1}{2}) \\ &\implies y \\ &= -x + \frac{9}{2} \end{aligned}$$

3. Penyelesaian:

   Langkah 1: Cari titik $P$.

   Kurva memotong sumbu $x$ saat $y=0$.

   $$0 = 3x - \frac{3}{x^2}$$

   $$\begin{aligned} 3x &= \frac{3}{x^2} \\ &\implies 3x^3 \\ &= 3 \\ &\implies x^3 \\ &= 1 \\ &\implies x \\ &=1 \end{aligned}$$

   Jadi, titik potong $P$ adalah $(1, 0)$.

   Langkah 2: Cari gradien di $P$.

   Kita ubah dulu fungsinya menjadi $f(x) = 3x - 3x^{-2}$ agar mudah diturunkan.

   $$f'(x) = 3 - (-2)(3)x^{-3} = 3 + \frac{6}{x^3}$$

   Gradien di $x=1$ adalah $m = f'(1) = 3 + \frac{6}{1^3} = 9$.

   Langkah 3: Susun persamaan.

   Dengan titik $(1, 0)$ dan gradien $9$, persamaannya adalah:

   $$y - 0 = 9(x - 1) \implies y = 9x - 9$$

4. Penyelesaian:

   Langkah 1: Cari titik $A$.

   Kurva memotong sumbu $y$ saat $x=0$.

   $$y = (0^2 + 2)^2 = 4$$

   Jadi, titik potong $A$ adalah $(0, 4)$.

   Langkah 2: Buktikan garis singgung sejajar sumbu $x$.

   Garis yang sejajar sumbu $x$ pasti memiliki gradien $0$. Buktikan bahwa turunan fungsi di titik $A$ ($x=0$) adalah nol.

   Turunan dari $f(x)=(x^2+2)^2$ menggunakan aturan rantai adalah $f'(x) = 2(x^2+2)(2x) = 4x(x^2+2)$.

   Gradien di $x=0$ adalah $m = f'(0) = 4(0)(0^2+2) = 0$.

   Karena gradiennya nol, terbukti garis singgungnya sejajar dengan sumbu $x$.

   Langkah 3: Buktikan jaraknya $4 \text{ satuan}$ dari pusat koordinat.

   Persamaan garis singgung di titik $(0,4)$ dengan gradien $m=0$ adalah:

   $$y - 4 = 0(x - 0) \implies y = 4$$

   Garis $y=4$ adalah garis horizontal. Jarak setiap titik pada garis ini ke sumbu $x$ (garis $y=0$) adalah $4 \text{ satuan}$. Karena titik pusat koordinat $(0,0)$ terletak di sumbu $x$, maka jarak garis singgung ini ke pusat koordinat juga $4 \text{ satuan}$. Terbukti.

5. Penyelesaian:

   Langkah 1: Tentukan gradien dari sudut.

   Hubungan antara gradien ($m$) dan sudut ($\theta$) yang dibentuk sebuah garis terhadap sumbu $x$ positif adalah $m = \tan(\theta)$.

   $$m = \tan(45^\circ) = 1$$

   Jadi, gradien garis singgung yang kita cari adalah $1$.

   Langkah 2: Cari koordinat titik singgung.

   Gradien juga merupakan turunan pertama dari kurva $f(x) = 2x^2 - 7x + 1$.

   $$f'(x) = 4x - 7$$

   Kita samakan dengan gradien yang sudah kita dapatkan:

   $$4x - 7 = 1$$

   $$4x = 8 \implies x = 2$$

   Sekarang, cari nilai $y$ dengan memasukkan $x=2$ ke persamaan kurva:

   $$\begin{aligned} y &= 2(2)^2 - 7(2) + 1 \\ &= 8 - 14 + 1 \\ &= -5 \end{aligned}$$

   Jadi, koordinat titik singgungnya adalah $(2, -5)$.

   Langkah 3: Tentukan persamaan garis singgung.

   Menggunakan titik $(2, -5)$ dan gradien $m=1$:

   $$y - (-5) = 1(x - 2)$$

   $$y + 5 = x - 2$$

   $$y = x - 7$$