Fungsi Naik dan Turun

Perilaku Fungsi dan Turunannya

Saat grafik dibaca dari kiri ke kanan, kurvanya dapat naik, turun, atau mendatar sesaat. Perilaku ini disebut kemonotonan fungsi. Tanda turunan pertama menentukan perilaku fungsi pada setiap interval.

Tanda gradien menunjukkan arah lokal kurva:

• Gradien positif berarti fungsi naik.

• Gradien negatif berarti fungsi turun.

• Gradien nol menandai titik stasioner, tetapi titik tersebut belum tentu maksimum atau minimum.

Secara geometris, $f'(x)$ adalah gradien garis singgung. Tandanya menunjukkan arah lokal kurva.

Sifat Kemonotonan Fungsi

Hubungan antara turunan pertama dan perilaku fungsi dapat kita rangkum dalam sifat-sifat berikut:

Misalkan fungsi $y = f(x)$ kontinu dan dapat diturunkan (diferensiabel) pada suatu interval.

• Jika $f'(x) > 0$ untuk semua $x$ dalam interval tersebut, maka $f(x)$ adalah fungsi naik.

• Jika untuk semua dalam interval tersebut, maka adalah .

Titik stasioner membagi domain menjadi beberapa interval yang dapat diuji. Titik ini merupakan calon tempat perubahan kemonotonan, tetapi fungsi hanya beralih dari naik ke turun atau sebaliknya jika tanda turunannya berubah.

Menganalisis Interval Fungsi

Contoh berikut menunjukkan seluruh proses analisis tanda.

Tentukan interval agar fungsi $f(x) = x^3 - 3x$ merupakan fungsi naik dan fungsi turun.

Penyelesaian:

Langkah 1: Cari turunan pertama

Pertama, kita turunkan fungsi $f(x)$.

Langkah 2: Temukan titik stasioner

Titik stasioner terjadi saat $f'(x) = 0$.

Dari sini, kita dapatkan titik-titik stasionernya adalah $x = 1$ dan $x = -1$.

Langkah 3: Buat garis bilangan dan uji interval

Kita letakkan titik stasioner pada garis bilangan. Titik-titik ini membagi garis menjadi tiga interval. Kita ambil satu titik uji dari setiap interval untuk mengetahui tanda $f'(x)$ (positif atau negatif).

• Interval $x < -1$:

  Ambil $x=-2$. $f'(-2) = 3(-2)^2 - 3 = 9$ (Positif, fungsi naik).

Langkah 4: Simpulkan intervalnya

Berdasarkan pengujian, kita dapat menyimpulkan:

• Fungsi naik pada interval $x < -1$ atau $x > 1$.

• Fungsi turun pada interval $-1 < x < 1$.

Latihan

Setiap soal meminta selang naik dan turun suatu fungsi. Tentukan titik stasionernya lebih dulu, karena titik itu memisahkan selangnya.

1. Tentukan interval fungsi naik dan interval fungsi turun pada kurva $f(x) = x^3 - 3x^2 - 15$.

2. Jika $f(x) = ax^3 + x^2 + 5$ naik di seluruh interval , tentukan semua nilai yang mungkin.

Kunci Jawaban

1. Penyelesaian:

   Turunan pertama dari $f(x) = x^3 - 3x^2 - 15$ adalah $f'(x) = 3x^2 - 6x$.