Aturan Turunan

Dari Definisi Limit ke Aturan Praktis

Definisi limit menjelaskan makna turunan. Jika perhitungan limit diterapkan pada beberapa fungsi, sebagian langkah aljabarnya akan berulang. Aturan turunan merangkum hasil perhitungan berulang tersebut tanpa mengubah gagasan dasarnya sebagai laju perubahan sesaat.

Untuk setiap fungsi, kenali dulu susunannya. Setelah itu, pilih aturan turunan yang sesuai dan tuliskan setiap langkah aljabarnya dengan jelas.

Aturan Dasar Turunan untuk Satu atau Beberapa Suku

Definisi turunan menghasilkan sedikit aturan yang lebih cepat dipakai. Ketiga aturan itu berlaku selama turunannya ada di titik yang sedang ditinjau, dan aturan untuk konstanta, pangkat, serta kombinasi linear diturunkan langsung dari definisi tersebut.

Fungsi Konstanta dan Pangkat

1. Aturan konstanta: Grafik fungsi konstanta berupa garis horizontal, sehingga gradiennya nol di setiap titik.

   $$f(x)=k \implies f'(x)=0$$

2. Aturan pangkat: Untuk konstanta $a$, kalikan dengan pangkatnya, lalu kurangi pangkat tersebut dengan satu.

   $$f(x)=ax^n \implies f'(x)=anx^{n-1}$$

   Rumus ini berlaku untuk setiap bilangan bulat $n$ di tempat $x^n$ terdefinisi. Untuk pangkat real secara umum, rumus ini berlaku pada $x>0$ dan pada domain real yang lebih luas jika fungsi pangkatnya terdefinisi dan dapat diturunkan.

Kombinasi Linear

Misalkan $u(x)$ dan $v(x)$ merupakan fungsi yang dapat diturunkan.

1. Pengali konstanta: Faktor konstanta tetap berada di depan turunan.

   $$f(x)=k\,u(x) \implies f'(x)=k\,u'(x)$$

2. Penjumlahan dan pengurangan: Turunkan setiap suku secara terpisah dan pertahankan operasi di antara keduanya.

   $$\begin{aligned} f(x) &=u(x)\pm v(x) \\ &\implies f'(x) \\ &=u'(x)\pm v'(x) \end{aligned}$$

Aturan Turunan untuk Operasi Antarfungsi

Sebagian bentuk tidak dapat diturunkan suku demi suku. Aturan-aturan itu ada karena turunan sebuah gabungan bukan gabungan dari turunannya. Pada hasil kali, kamu menurunkan satu faktor sementara faktor lain tetap, lalu menjumlahkan kedua hasilnya. Pada hasil bagi muncul penyebut, dan pada komposisi turunan fungsi dalam mengalikan turunan fungsi luar.

Aturan Hasil Kali

Untuk hasil kali, kita tidak cukup menurunkan kedua faktor lalu mengalikan hasilnya. Turunkan satu faktor sambil mempertahankan faktor lainnya, kemudian jumlahkan kedua suku yang diperoleh.

Aturan Hasil Bagi

Pada hasil bagi, urutan suku di pembilang perlu dijaga. Penyebut $v(x)$ juga harus tidak nol pada setiap titik tempat fungsi awal terdefinisi.

Aturan Rantai

Fungsi komposisi menerapkan satu fungsi di dalam fungsi lain. Turunkan fungsi luar dengan masukan dalam tetap utuh, lalu kalikan dengan turunan fungsi dalam tersebut.

Menerapkan Aturan Rantai pada Fungsi Komposisi

Tentukan turunan $f(x)=(x^2+1)^3$.

Fungsi luarnya memangkatkan masukan dengan tiga. Fungsi dalamnya adalah $u(x)=x^2+1$. Terapkan aturan pangkat pada fungsi luar, lalu kalikan dengan turunan fungsi dalam.

Faktor $2x$ tidak boleh hilang. Tanpa faktor itu, kita baru menurunkan fungsi luar dan belum menyelesaikan aturan rantai.

Latihan

Setiap soal memerlukan satu atau beberapa aturan turunan yang digabungkan. Tentukan aturannya sebelum menulis turunan. Tuliskan aturan yang kamu pilih di baris pertama, supaya kesalahan memilih aturan terlihat sebelum aljabarnya memanjang.

1. Tentukan turunan $h(x)=(2x-1)^4$.

Pembahasan

1. Fungsi luarnya adalah pangkat empat, sedangkan fungsi dalamnya $u(x)=2x-1$ dengan turunan $u'(x)=2$.

   $$h'(x)=4[u(x)]^3u'(x)$$

   $$h'(x)=8(2x-1)^3$$

   Hasil tersebut memuat kedua bagian komposisi: turunan pangkat empat dan turunan fungsi linear di dalamnya.