Titik Ekstrim, Nilai Balik Maksimum dan Minimum

Memahami Titik Ekstrim

Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering mencari nilai "terbaik", misalnya keuntungan terbesar, biaya terkecil, atau jarak terdekat. Dalam matematika, nilai-nilai optimal ini dikenal sebagai nilai ekstrim, yang terdiri dari nilai maksimum dan nilai minimum. Titik di mana nilai-nilai ini terjadi disebut titik ekstrim.

Titik ekstrim ini sangat erat kaitannya dengan titik stasioner, yaitu titik di mana gradien kurva sama dengan nol ( $f'(x)=0$ ). Ada dua cara utama untuk menguji dan menentukan jenis titik stasioner, yaitu Uji Turunan Pertama dan Uji Turunan Kedua.

Uji Turunan Pertama

Metode ini berfokus pada perubahan perilaku fungsi, yaitu naik atau turun, di sekitar titik stasioner. Dengan melihat perubahan tanda dari $f'(x)$ , kita bisa mengidentifikasi jenis titik stasionernya.

Nilai Balik Maksimum: Terjadi jika fungsi berubah dari naik menjadi turun. Ini berarti tanda $f'(x)$ berubah dari positif (+) menjadi negatif (-). Pikirkan ini seperti puncak sebuah bukit.
Nilai Balik Minimum: Terjadi jika fungsi berubah dari turun menjadi naik. Tanda $f'(x)$ berubah dari negatif (-) menjadi positif (+). Ini seperti dasar sebuah lembah.
Titik Belok Horizontal: Terjadi jika fungsi tidak berubah arah (tetap naik atau tetap turun). Tanda $f'(x)$ tidak berubah (positif ke positif atau negatif ke negatif).

Perhatikan visualisasi di bawah ini untuk memahami konsep titik balik.

Visualisasi Uji Turunan Pertama

Visualisasi konsep titik balik. Garis bantu horizontal menunjukkan gradien nol pada titik maksimum dan minimum.

Mari kita terapkan ini pada sebuah contoh. Tentukan nilai-nilai stasioner dari fungsi $f(x) = x(x-3)^2$ .

Penyelesaian:

Langkah $1$ : Cari turunan pertama

Kita jabarkan dulu fungsinya: $f(x) = x(x^2 - 6x + 9) = x^3 - 6x^2 + 9x$ .

Turunannya adalah:

f'(x) = 3x^2 - 12x + 9

Langkah $2$ : Temukan titik stasioner

Atur $f'(x) = 0$ .

3x^2 - 12x + 9 = 0

Titik stasioner terjadi pada $x = 1$ dan $x = 3$ .

Langkah $3$ : Uji tanda di sekitar titik stasioner

Sekitar $x = 1$ : Untuk $x < 1$ (misal $x=0$ ), $f'(0) = 9$ (positif). Untuk $x > 1$ (misal $x=2$ ), $f'(2) = -3$ (negatif). Karena tanda berubah dari (+) ke (-), maka $x=1$ adalah titik balik maksimum.
Sekitar $x = 3$ : Untuk $x < 3$ (misal $x=2$ ), $f'(2) = -3$ (negatif). Untuk $x > 3$ (misal $x=4$ ), $f'(4) = 9$ (positif). Karena tanda berubah dari (-) ke (+), maka $x=3$ adalah titik balik minimum.

Langkah $4$ : Tentukan nilai stasioner

Untuk mendapatkan nilai balik (nilai $y$ ), substitusikan absis titik stasioner ( $x=1$ dan $x=3$ ) kembali ke fungsi awal $f(x)$ .

Nilai maksimum: $f(1) = 1(1-3)^2 = 4$ .
Nilai minimum: $f(3) = 3(3-3)^2 = 0$ .

Jadi, nilai balik maksimum fungsi adalah $4$ yang terjadi di titik $(1,4)$ , dan nilai balik minimumnya adalah $0$ yang terjadi di titik $(3,0)$ .

Visualisasi Titik Ekstrim

Visualisasi kurva

f(x) = x(x-3)^2

dengan garis singgung horizontal pada titik maksimum dan minimumnya.

Uji Turunan Kedua

Metode ini seringkali lebih cepat karena tidak memerlukan pengujian interval. Uji ini menggunakan turunan kedua, $f''(x)$ , untuk menentukan kecekungan kurva pada titik stasioner.

Misalkan $f'(c) = 0$ .

Jika $f''(c) < 0$ , maka $f(c)$ adalah nilai balik maksimum. Artinya, di titik itu kurva cekung ke bawah, seperti mangkuk terbalik.
Jika $f''(c) > 0$ , maka $f(c)$ adalah nilai balik minimum. Artinya, di titik itu kurva cekung ke atas, seperti mangkuk terbuka.
Jika $f''(c) = 0$ , uji ini gagal dan kita harus kembali menggunakan Uji Turunan Pertama. Titik ini kemungkinan adalah titik belok.

Tentukan nilai-nilai ekstrim dari $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + 2$ dengan uji turunan kedua.

Penyelesaian:

Langkah $1$ : Cari turunan pertama dan kedua

f'(x) = x^2 - 2x - 3

Langkah $2$ : Temukan titik stasioner

x^2 - 2x - 3 = 0

Titik stasioner terjadi pada $x = 3$ dan $x = -1$ .

Langkah $3$ : Uji titik stasioner ke turunan kedua

Untuk $x = 3$ : $f''(3) = 2(3) - 2 = 4$ . Karena $4 > 0$ , ini adalah nilai balik minimum.
Untuk $x = -1$ : $f''(-1) = 2(-1) - 2 = -4$ . Karena $-4 < 0$ , ini adalah nilai balik maksimum.

Langkah $4$ : Hitung nilai ekstrim

Substitusikan $x=3$ dan $x=-1$ ke fungsi awal untuk mendapatkan nilai ekstrimnya.

Nilai minimum: $f(3) = \frac{1}{3}(3)^3 - (3)^2 - 3(3) + 2 = 9 - 9 - 9 + 2 = -7$ .
Nilai maksimum: $f(-1) = \frac{1}{3}(-1)^3 - (-1)^2 - 3(-1) + 2 = -\frac{1}{3} - 1 + 3 + 2 = \frac{11}{3}$ .

Jika kita perhatikan pada visualisasi di bawah ini, kurva cekung ke bawah di titik $x=-1$ dan cekung ke atas di titik $x=3$ .

Visualisasi Uji Turunan Kedua

Grafik

f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + 2

. Garis bantu menandai titik maksimum, di mana kurva cekung ke bawah, dan minimum, di mana kurva cekung ke atas.

Latihan

Tentukan titik stasioner untuk fungsi $y = x^2 + 2x - 3$ .

Kunci Jawaban

Penyelesaian:

Langkah $1$ : Cari turunan pertama

$f'(x) = 2x + 2$

Langkah $2$ : Cari titik stasioner

Atur $f'(x) = 0$ .

$2x + 2 = 0 \implies x = -1$

Langkah $3$ : Cari nilai $y$

Substitusikan $x = -1$ ke fungsi awal.

$y = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$

Jadi, titik stasionernya adalah $(-1, -4)$ . Dengan Uji Turunan Kedua ( $f''(x)=2 > 0$ ), titik ini adalah titik minimum.

Memahami Titik Ekstrim

Uji Turunan Pertama

Nilai Balik Maksimum: Terjadi jika fungsi berubah dari naik menjadi turun. Ini berarti tanda $f'(x)$ berubah dari positif (+) menjadi negatif (-). Pikirkan ini seperti puncak sebuah bukit.
Nilai Balik Minimum: Terjadi jika fungsi berubah dari turun menjadi naik. Tanda $f'(x)$ berubah dari negatif (-) menjadi positif (+). Ini seperti dasar sebuah lembah.
Titik Belok Horizontal: Terjadi jika fungsi tidak berubah arah (tetap naik atau tetap turun). Tanda $f'(x)$ tidak berubah (positif ke positif atau negatif ke negatif).

Perhatikan visualisasi di bawah ini untuk memahami konsep titik balik.

Visualisasi Uji Turunan Pertama

Visualisasi konsep titik balik. Garis bantu horizontal menunjukkan gradien nol pada titik maksimum dan minimum.

Mari kita terapkan ini pada sebuah contoh. Tentukan nilai-nilai stasioner dari fungsi $f(x) = x(x-3)^2$ .

Penyelesaian:

Langkah $1$ : Cari turunan pertama

Kita jabarkan dulu fungsinya: $f(x) = x(x^2 - 6x + 9) = x^3 - 6x^2 + 9x$ .

Turunannya adalah:

f'(x) = 3x^2 - 12x + 9

Langkah $2$ : Temukan titik stasioner

Atur $f'(x) = 0$ .

3x^2 - 12x + 9 = 0

Titik stasioner terjadi pada $x = 1$ dan $x = 3$ .

Langkah $3$ : Uji tanda di sekitar titik stasioner

Sekitar $x = 1$ : Untuk $x < 1$ (misal $x=0$ ), $f'(0) = 9$ (positif). Untuk $x > 1$ (misal $x=2$ ), $f'(2) = -3$ (negatif). Karena tanda berubah dari (+) ke (-), maka $x=1$ adalah titik balik maksimum.
Sekitar $x = 3$ : Untuk $x < 3$ (misal $x=2$ ), $f'(2) = -3$ (negatif). Untuk $x > 3$ (misal $x=4$ ), $f'(4) = 9$ (positif). Karena tanda berubah dari (-) ke (+), maka $x=3$ adalah titik balik minimum.

Langkah $4$ : Tentukan nilai stasioner

Untuk mendapatkan nilai balik (nilai $y$ ), substitusikan absis titik stasioner ( $x=1$ dan $x=3$ ) kembali ke fungsi awal $f(x)$ .

Nilai maksimum: $f(1) = 1(1-3)^2 = 4$ .
Nilai minimum: $f(3) = 3(3-3)^2 = 0$ .

Jadi, nilai balik maksimum fungsi adalah $4$ yang terjadi di titik $(1,4)$ , dan nilai balik minimumnya adalah $0$ yang terjadi di titik $(3,0)$ .

Visualisasi Titik Ekstrim

Visualisasi kurva

f(x) = x(x-3)^2

dengan garis singgung horizontal pada titik maksimum dan minimumnya.

Uji Turunan Kedua

Metode ini seringkali lebih cepat karena tidak memerlukan pengujian interval. Uji ini menggunakan turunan kedua, $f''(x)$ , untuk menentukan kecekungan kurva pada titik stasioner.

Misalkan $f'(c) = 0$ .

Jika $f''(c) < 0$ , maka $f(c)$ adalah nilai balik maksimum. Artinya, di titik itu kurva cekung ke bawah, seperti mangkuk terbalik.
Jika $f''(c) > 0$ , maka $f(c)$ adalah nilai balik minimum. Artinya, di titik itu kurva cekung ke atas, seperti mangkuk terbuka.
Jika $f''(c) = 0$ , uji ini gagal dan kita harus kembali menggunakan Uji Turunan Pertama. Titik ini kemungkinan adalah titik belok.

Tentukan nilai-nilai ekstrim dari $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + 2$ dengan uji turunan kedua.

Penyelesaian:

Langkah $1$ : Cari turunan pertama dan kedua

f'(x) = x^2 - 2x - 3

Langkah $2$ : Temukan titik stasioner

x^2 - 2x - 3 = 0

Titik stasioner terjadi pada $x = 3$ dan $x = -1$ .

Langkah $3$ : Uji titik stasioner ke turunan kedua

Untuk $x = 3$ : $f''(3) = 2(3) - 2 = 4$ . Karena $4 > 0$ , ini adalah nilai balik minimum.
Untuk $x = -1$ : $f''(-1) = 2(-1) - 2 = -4$ . Karena $-4 < 0$ , ini adalah nilai balik maksimum.

Langkah $4$ : Hitung nilai ekstrim

Substitusikan $x=3$ dan $x=-1$ ke fungsi awal untuk mendapatkan nilai ekstrimnya.

Nilai minimum: $f(3) = \frac{1}{3}(3)^3 - (3)^2 - 3(3) + 2 = 9 - 9 - 9 + 2 = -7$ .
Nilai maksimum: $f(-1) = \frac{1}{3}(-1)^3 - (-1)^2 - 3(-1) + 2 = -\frac{1}{3} - 1 + 3 + 2 = \frac{11}{3}$ .

Jika kita perhatikan pada visualisasi di bawah ini, kurva cekung ke bawah di titik $x=-1$ dan cekung ke atas di titik $x=3$ .

Visualisasi Uji Turunan Kedua

Grafik

f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + 2

. Garis bantu menandai titik maksimum, di mana kurva cekung ke bawah, dan minimum, di mana kurva cekung ke atas.

Latihan

Tentukan titik stasioner untuk fungsi $y = x^2 + 2x - 3$ .

Kunci Jawaban

Penyelesaian:

Langkah $1$ : Cari turunan pertama

$f'(x) = 2x + 2$

Langkah $2$ : Cari titik stasioner

Atur $f'(x) = 0$ .

$2x + 2 = 0 \implies x = -1$

Langkah $3$ : Cari nilai $y$

Substitusikan $x = -1$ ke fungsi awal.

$y = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$

Jadi, titik stasionernya adalah $(-1, -4)$ . Dengan Uji Turunan Kedua ( $f''(x)=2 > 0$ ), titik ini adalah titik minimum.