Nilai Ekstrem dan Uji Turunan Pertama serta Kedua

Titik Ekstrem

Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering mencari nilai terbaik, misalnya keuntungan terbesar, biaya terkecil, atau jarak terdekat. Dalam matematika, nilai optimal ini disebut nilai ekstrem, yang dapat berupa nilai maksimum atau nilai minimum. Titik pada grafik tempat nilai tersebut terjadi disebut titik ekstrem.

Ekstrem lokal di bagian dalam domain fungsi yang dapat diturunkan merupakan titik stasioner, yaitu titik dengan $f'(x)=0$. Secara lebih umum, ekstrem lokal juga dapat terjadi ketika turunan tidak terdefinisi atau pada ujung domain. Setiap titik stasioner perlu diperiksa lebih lanjut untuk menentukan apakah titik itu benar-benar ekstrem lokal. Pemeriksaan berikut memakai Uji Turunan Pertama dan Uji Turunan Kedua.

Uji Turunan Pertama

Metode ini berfokus pada perubahan perilaku fungsi, yaitu naik atau turun, di sekitar titik stasioner. Dengan melihat perubahan tanda dari $f'(x)$, kita bisa mengidentifikasi jenis titik stasionernya.

• Nilai Balik Maksimum: Terjadi jika fungsi berubah dari naik menjadi turun. Ini berarti tanda $f'(x)$ berubah dari positif (+) menjadi negatif (-), seperti di lereng menuju puncak bukit.

• Nilai Balik Minimum: Terjadi jika fungsi berubah dari turun menjadi naik. Tanda $f'(x)$ berubah dari , seperti di dasar lembah.

Visualisasi berikut menunjukkan garis singgung horizontal pada maksimum dan minimum lokal.

Tentukan nilai stasioner $f(x) = x(x-3)^2$ dengan uji turunan pertama.

Penyelesaian:

Langkah 1: Cari turunan pertama

Kita jabarkan dulu fungsinya: $f(x) = x(x^2 - 6x + 9) = x^3 - 6x^2 + 9x$.

Turunannya adalah:

Langkah 2: Temukan titik stasioner

Atur $f'(x) = 0$.

Titik stasioner terjadi pada $x = 1$ dan $x = 3$.

Langkah 3: Uji tanda di sekitar titik stasioner

• Sekitar $x = 1$: Untuk $x < 1$ (misal $x=0$), $f'(0) = 9$ (positif). Untuk (misal ), (negatif). Karena tanda berubah dari (+) ke (-), maka adalah titik balik maksimum.

Langkah 4: Tentukan nilai stasioner

Untuk mendapatkan nilai balik (nilai $y$), substitusikan koordinat $x$ titik stasioner ($x=1$ dan $x=3$) kembali ke fungsi awal $f(x)$.

• Nilai maksimum lokal: $f(1) = 1(1-3)^2 = 4$.

• Nilai minimum lokal: $f(3) = 3(3-3)^2 = 0$.

Jadi, nilai maksimum lokalnya adalah $4$ di $(1,4)$, sedangkan nilai minimum lokalnya adalah $0$ di $(3,0)$.

Uji Turunan Kedua

Metode ini tidak memerlukan pengujian interval. Uji ini memakai turunan kedua, $f''(x)$, untuk menentukan kecekungan kurva pada titik stasioner.

Misalkan $f'(c) = 0$ dan $f''$ kontinu pada suatu selang yang memuat $c$.

• Jika $f''(c) < 0$, maka $f(c)$ adalah nilai maksimum lokal. Di titik itu, kurva cekung ke bawah seperti mangkuk terbalik.

• Jika $f''(c) > 0$, maka adalah . Di titik itu, kurva cekung ke atas seperti mangkuk terbuka.

Tentukan nilai-nilai ekstrem dari $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + 2$ dengan uji turunan kedua.

Penyelesaian:

Langkah 1: Cari turunan pertama dan kedua

Langkah 2: Temukan titik stasioner

Titik stasioner terjadi pada $x = 3$ dan $x = -1$.

Langkah 3: Uji titik stasioner ke turunan kedua

• Untuk $x = 3$: $f''(3) = 2(3) - 2 = 4$. Karena , titik ini merupakan .

Langkah 4: Hitung nilai ekstrem

Substitusikan $x=3$ dan $x=-1$ ke fungsi awal untuk mendapatkan nilai ekstrimnya.

• Nilai minimum lokal: $f(3) = \frac{1}{3}(3)^3 - (3)^2 - 3(3) + 2 = 9 - 9 - 9 + 2 = -7$.

Kurva cekung ke bawah di titik $x=-1$ dan cekung ke atas di titik $x=3$.

Latihan

Setiap soal meminta titik stasioner atau nilai ekstrem. Samakan turunan pertama dengan nol, lalu periksa apakah titik itu maksimum atau minimum. Langkah kedua memerlukan turunan kedua, karena garis singgung yang mendatar saja belum menentukan jenis titiknya.

1. Tentukan titik stasioner untuk fungsi $y = x^2 + 2x - 3$.

Pembahasan

1. Penyelesaian:

   Langkah 1: Cari turunan pertama

   $$f'(x) = 2x + 2$$

   Langkah 2: Cari titik stasioner

   Atur $f'(x) = 0$.