Turunan Fungsi Trigonometri

Menggunakan Radian dalam Rumus Turunan

Fungsi trigonometri menggunakan aturan jumlah, hasil kali, hasil bagi, dan rantai yang sama seperti fungsi aljabar. Perbedaannya terletak pada turunan dasar yang kita gunakan sebagai titik awal.

Semua rumus berikut menganggap sudut diukur dalam radian. Jika sudut diukur dalam derajat, aturan rantai menghasilkan faktor tambahan $\pi/180$.

Turunan Dasar Trigonometri

Rumus turunan sinus dan kosinus dapat dibuktikan langsung dari definisi limit turunan. Empat rumus lainnya kemudian dapat diturunkan dari identitas trigonometri bersama aturan hasil kali atau hasil bagi.

Berikut turunan dasar keenam fungsi trigonometri:

1. Turunan Sinus:

   $$f(x) = \sin x \implies f'(x) = \cos x$$

2. Turunan Kosinus:

   $$f(x) = \cos x \implies f'(x) = -\sin x$$

3. Turunan Tangen:

   $$f(x) = \tan x \implies f'(x) = \sec^2 x$$

4. Turunan Kotangen:

   $$f(x) = \cot x \implies f'(x) = -\csc^2 x$$

5. Turunan Sekan:

   $$\begin{aligned} f(x) &= \sec x \\ &\implies f'(x) \\ &= \sec x \tan x \end{aligned}$$

6. Turunan Kosekan:

   $$\begin{aligned} f(x) &= \csc x \\ &\implies f'(x) \\ &= -\csc x \cot x \end{aligned}$$

Menerapkan Aturan pada Fungsi Trigonometri

Contoh berikut menggabungkan rumus dasar tersebut dengan aturan turunan yang sudah dikenal. Tentukan aturan luarnya lebih dulu, lalu turunkan sudutnya dan kalikan, karena turunan $\sin u$ sama dengan $\cos u$ dikalikan turunan $u$.

Kombinasi Aljabar dan Trigonometri

Tentukan turunan dari $y = 2 \sin x + 5x$.

Penyelesaian:

Kita bisa menurunkan fungsi ini suku per suku menggunakan aturan penjumlahan.

Menggunakan Aturan Hasil Kali

Tentukan turunan dari $y = 2 \sin x \tan x$.

Penyelesaian:

Gunakan aturan hasil kali $y' = u'v + uv'$.

Misalkan $u = 2 \sin x$ dan $v = \tan x$.

Maka $u' = 2 \cos x$ dan $v' = \sec^2 x$.

Menggunakan Aturan Hasil Bagi

Pada domain $\sin x \ne 0$, tentukan turunan dari $y = \frac{1 + \cos x}{\sin x}$.

Penyelesaian:

Gunakan aturan hasil bagi $y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Misalkan $u = 1 + \cos x$ dan $v = \sin x$.

Maka $u' = -\sin x$ dan $v' = \cos x$.

Hitung pembilangnya terlebih dahulu:

Gunakan identitas Pythagoras:

Faktorkan bentuk tersebut:

Rumus yang telah disederhanakan tetap mengikuti domain fungsi semula. Jadi, nilai dengan $\sin x=0$ tetap tidak termasuk meskipun ekspresi akhir tampak terdefinisi di sana.

Latihan

Setiap soal meminta turunan pertama suatu bentuk trigonometri, dan soal kedua berbentuk hasil kali. Pilih aturan yang sesuai dengan bentuknya.

1. Tentukan turunan pertama dari $f(x) = 4x^3 - 5 \cos x$.
2. Tentukan turunan pertama dari $f(x) = \sin x \cos x$.

Kunci Jawaban

1. Penyelesaian:

   Gunakan aturan pengurangan untuk menurunkan setiap suku secara terpisah.

   Langkah 1: Turunkan suku pertama

   Turunan dari $4x^3$ menggunakan aturan pangkat adalah $3 \cdot 4x^{3-1} = 12x^2$.

   Langkah 2: Turunkan suku kedua

   Turunan dari $-5 \cos x$ adalah $-5(-\sin x) = 5 \sin x$.

   Langkah 3: Gabungkan hasilnya

   $$f'(x) = 12x^2 + 5 \sin x$$

   Jadi, turunan dari fungsi tersebut adalah $12x^2 + 5 \sin x$.

2. Penyelesaian:

   Gunakan aturan hasil kali, $f'(x) = u'v + uv'$.

   Langkah 1: Tentukan $u$, $v$, $u'$, dan $v'$

   Misalkan $u = \sin x$ dan $v = \cos x$.

   Maka, $u' = \cos x$ dan $v' = -\sin x$.

   Langkah 2: Terapkan Aturan Hasil Kali

   $$\begin{aligned} f'(x) &= (\cos x)(\cos x) \\ &\quad{}+ (\sin x)(-\sin x) \end{aligned}$$

   $$f'(x) = \cos^2 x - \sin^2 x$$

   Langkah 3: Gunakan Identitas Trigonometri (Opsional)

   Hasilnya bisa juga disederhanakan menggunakan identitas sudut ganda, $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$.

   $$f'(x) = \cos(2x)$$

   Jadi, turunan dari fungsi tersebut adalah $\cos(2x)$.