Perkalian Skalar Vektor

Pengaruh Skalar terhadap Besar dan Arah Vektor

Hasilnya adalah vektor baru yang besarnya dikalikan dengan nilai mutlak skalar. Untuk vektor asal tak nol, tanda skalar menentukan apakah arahnya tetap atau berbalik.

Jika $k$ adalah bilangan real (skalar) dan $\vec{v}$ adalah vektor, maka perkalian skalar dengan vektor dilambangkan sebagai $k \cdot \vec{v}$ .

Sifat Perkalian Skalar dengan Vektor

Jika $k > 0$ dan vektor asal tak nol, vektor hasil memiliki arah yang sama.
Jika $k < 0$ dan vektor asal tak nol, vektor hasil menunjuk ke arah berlawanan.
Jika $k = 0$ , maka vektor hasil adalah vektor nol.
Besar vektor hasil adalah besar vektor asal yang dikalikan dengan faktor .

Representasi Perkalian Skalar dengan Vektor

Mengalikan vektor dengan suatu bilangan mengubah panjangnya sebesar faktor itu dan bisa membalik arahnya. Hasilnya tetap sebuah vektor pada garis yang sama, sehingga panjang dan arahnya dapat diperiksa secara terpisah.

Besar dan Arah Vektor yang Diskala

Secara geometris, perkalian skalar mengubah besar vektor dengan faktor $|k|$ . Untuk vektor tak nol, arah hasil bergantung pada tanda $k$ :

Jika $k > 0$ , arah vektor tidak berubah
Jika $k < 0$ , arah vektor berlawanan dengan vektor asal

Pada kedua kasus tersebut, termasuk ketika $k=0$ , besarnya memenuhi:

|k \cdot \vec{v}| = |k| \cdot |\vec{v}|

Mengalikan Setiap Komponen dengan Skalar

Jika $\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)$ adalah vektor di ruang dimensi, maka:

\begin{aligned} k \cdot \vec{v} &= k(v_1, v_2, v_3) \\ &= (k \cdot v_1, k \cdot v_2, k \cdot v_3) \end{aligned}

Dalam notasi vektor satuan:

\begin{aligned} k \cdot \vec{v} &= k(v_1\vec{i} + v_2\vec{j} + v_3\vec{k}) \\ &= k \cdot v_1\vec{i} + k \cdot v_2\vec{j} + k \cdot v_3\vec{k} \end{aligned}

Mengalikan Vektor dengan Skalar Positif dan Negatif

Faktor yang lebih besar dari satu memanjangkan vektor, faktor antara nol dan satu memperpendeknya, sedangkan faktor negatif juga membalik arahnya. Karena itu, perkalian dengan skalar negatif selalu mengubah arah, sedangkan perkalian dengan skalar positif tidak pernah mengubah arah.

Mengalikan dengan Skalar Positif

Diketahui vektor $\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j} + 5\vec{k}$ . Tentukan hasil perkalian .

Penyelesaian:

2\vec{a} = 2(2\vec{i} + 3\vec{j} + 5\vec{k})

Mengalikan dengan Skalar Negatif

Diketahui vektor $\vec{v} = (4, -2, 3)$ . Tentukan hasil dari $-3\vec{v}$ .

Penyelesaian:

-3\vec{v} = -3(4, -2, 3)

Perhatikan bahwa arah vektor hasil berlawanan dengan vektor asal karena skalarnya negatif.

Aplikasi Perkalian Skalar dengan Vektor

Perkalian skalar dengan vektor memiliki banyak aplikasi dalam fisika dan matematika, seperti:

Gaya dan Percepatan: Jika sebuah benda bermassa $m$ mengalami percepatan $\vec{a}$ , maka gaya yang bekerja pada benda tersebut adalah $\vec{F} = m\vec{a}$ .

Latihan Soal

Setiap soal mengalikan vektor dengan satu atau dua skalar. Kalikan setiap komponen dengan faktor yang sama, lalu gabungkan hasilnya jika ada dua skalar.

Diketahui vektor $\vec{a} = 3\vec{i} - 4\vec{j} + 2\vec{k}$ . Tentukan hasil dari .

Kunci Jawaban

Setiap jawaban memuat langkah perhitungan dan nilai akhirnya, sehingga kamu bisa membandingkan pekerjaanmu baris per baris. Baca dulu langkahnya, baru periksa angkamu.

Setiap jawaban mengalikan komponen satu per satu lalu menggabungkan sukunya kembali. Bandingkan hasilmu dengan nilai pada setiap koordinat.

Soal Pertama

Diketahui vektor $\vec{a} = 3\vec{i} - 4\vec{j} + 2\vec{k}$ . Tentukan hasil dari .

Penyelesaian:

-2\vec{a} = -2(3\vec{i} - 4\vec{j} + 2\vec{k})

Jadi, hasil dari $-2\vec{a}$ adalah $-6\vec{i} + 8\vec{j} - 4\vec{k}$ .

Soal Kedua

Vektor $\vec{u} = (2, -5, 1)$ dan $\vec{v} = (-4, 3, 6)$ . Tentukan vektor .

Penyelesaian:

2\vec{u} = 2(2, -5, 1) = (4, -10, 2)

Jadi, vektor $2\vec{u} - 3\vec{v}$ adalah atau .

Soal Ketiga

Diketahui $|\overrightarrow{BR}| = 3{,}4 \text{ cm}$ . Jika $\overrightarrow{BU} = 0{,}65 \cdot \overrightarrow{BR}$ dan , buktikan bahwa ketiga vektor tersebut memiliki arah yang sama.

Penyelesaian: Untuk membuktikan bahwa ketiga vektor memiliki arah yang sama, kita perlu menunjukkan bahwa mereka merupakan perkalian skalar positif dari vektor yang sama.

Kita tahu:

$\overrightarrow{BU} = 0{,}65 \cdot \overrightarrow{BR}$

Periksa apakah $\overrightarrow{BU} + \overrightarrow{UR} = \overrightarrow{BR}$ :

\overrightarrow{BU} + \overrightarrow{UR} = 0{,}65 \cdot \overrightarrow{BR} + 0{,}35 \cdot \overrightarrow{BR}

Hasil ini menunjukkan bahwa $\overrightarrow{BU} + \overrightarrow{UR} = \overrightarrow{BR}$ , yang sesuai dengan hukum penjumlahan vektor untuk titik-titik , , dan yang segaris.

Faktor skalar pada $\overrightarrow{BU} = 0{,}65 \cdot \overrightarrow{BR}$ dan bernilai positif. Karena itu, dan searah dengan .

Soal Keempat

Vektor $\vec{p}$ memiliki panjang $5 \text{ satuan}$ dan vektor $\vec{q} = 3\vec{p}$ . Tentukan panjang vektor .

Penyelesaian: Diketahui $|\vec{p}| = 5 \text{ satuan}$ dan $\vec{q} = 3\vec{p}$ .

Untuk menentukan panjang vektor $\vec{q}$ , kita menggunakan sifat perkalian skalar:

|\vec{q}| = |3\vec{p}|

Jadi, panjang vektor $\vec{q}$ adalah $15 \text{ satuan}$ .

Soal Kelima

Diketahui titik $A(2, 3, -1)$ , $B(5, -2, 4)$ , dan $C$ terletak pada garis yang melalui $A$ dan sehingga . Tentukan koordinat titik .

Penyelesaian: Pertama, kita tentukan vektor $\overrightarrow{AB}$ :

\overrightarrow{AB} = B - A

Kemudian, kita gunakan hubungan $\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AB}$ untuk menentukan vektor :

\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AB}

Selanjutnya, kita tentukan koordinat titik $C$ :

\overrightarrow{AC} = C - A

Jadi, koordinat titik $C$ adalah $C(8, -7, 9)$ .