Menentukan Luas Minimum

Apa itu Luas Minimum?

Selain mencari yang paling besar, fungsi kuadrat juga bisa dipakai buat mencari nilai paling kecil (minimum). Kapan ya kita butuh cari luas minimum? Misalnya, kita punya bahan terbatas tapi harus membuat sesuatu dengan luas tertentu, dan kita mau pakai bahan sesedikit mungkin.

Kenalan Lagi Sama Fungsi Kuadrat

Ingat kan, fungsi kuadrat itu bisa senyum ($ax^2 + bx + c$ kalau $a > 0$) atau cemberut ($ax^2 + bx + c$ kalau $a < 0$).

Nah, kalau kita mau cari nilai paling kecil (minimum), kita pakai yang bentuknya senyum, jadi nilai $a$ nya positif ($a > 0$).

Bentuk umumnya tetap sama:

($a$, $b$, $c$ itu angka, $a \neq 0$).

Cara Cari Titik Paling Bawah (Lembah)

Nilai paling kecil itu ada di titik paling bawah dari grafik yang senyum tadi. Titik ini juga namanya titik puncak atau vertex (tapi posisinya di bawah).

Rumus mencarinya sama persis dengan mencari titik paling atas!

Untuk mencari posisi titik lembah (nilai $x$ nya):

Untuk mencari nilai paling kecilnya (nilai $y$ atau $f(x)$ nya):

Atau pakai rumus cepat diskriminan:

dengan $D = b^2 - 4ac$.

Contoh Biar Ngerti

Misalnya, kita punya seutas kawat panjangnya 40 cm. Kawat ini mau dipotong jadi dua bagian. Bagian pertama dibentuk jadi persegi, bagian kedua juga dibentuk jadi persegi. Berapa ukuran potongan agar jumlah luas kedua persegi itu paling kecil (minimum)?

1. Bikin Nama: Misal sisi persegi pertama $x$ cm, sisi persegi kedua $y$ cm.

2. Hubungan Panjang Kawat:

   • Kawat untuk persegi pertama: Kelilingnya $4x$ cm.

   • Kawat untuk persegi kedua: Kelilingnya $4y$ cm.

   • Total panjang kawat:

     $$4x + 4y = 40$$

     Sederhanakan (bagi 4):

     $$x + y = 10$$

     Artinya:

     $$y = 10 - x$$

3. Rumus Jumlah Luas: Jumlah luas kedua persegi adalah $A = \text{Luas}_1 + \text{Luas}_2$.

   $$A(x) = x^2 + y^2$$

   Ganti $y$ dengan $10 - x$:

   $$A(x) = x^2 + (10 - x)^2$$

   $$A(x) = x^2 + (100 - 20x + x^2)$$

   $$A(x) = 2x^2 - 20x + 100$$

4. Bentuk Fungsi Kuadrat: Kita sudah dapat $A(x) = 2x^2 - 20x + 100$.

   Ini fungsi kuadrat dengan $a = 2$, $b = -20$, $c = 100$. Karena $a$ positif, grafiknya senyum, jadi ada nilai minimum.

5. Cari Sisi x untuk Luas Minimum: Pakai rumus $x_p = -b / (2a)$:

   $$x_p = -\frac{-20}{2 \times 2} = \frac{20}{4} = 5$$

   Jadi, sisi persegi pertama harus 5 cm agar jumlah luasnya minimal.

6. Cari Sisi y dan Luas Minimum:

   • Sisi persegi kedua: $y = 10 - x = 10 - 5 = 5$ cm.

   • Jumlah Luas Minimum: Masukkan $x = 5$ ke $A(x)$:

     $$A(5) = 2(5)^2 - 20(5) + 100 = 2(25) - 100 + 100 = 50$$

     Jumlah luas minimumnya adalah $50 \text{ cm}^2$.

7. Kesimpulan: Agar jumlah luas kedua persegi minimal ($50 \text{ cm}^2$), kawat harus dipotong sehingga kedua persegi memiliki sisi yang sama, yaitu $5 \text{ cm}$. (Artinya kawat dipotong jadi dua bagian sama panjang, $20 \text{ cm}$ dan $20 \text{ cm}$).

Dipakai Dimana Aja Sih?

Bisnis & Ekonomi

Contoh:

Biaya produksi $x$ unit barang (dalam ribu rupiah) adalah $C(x) = 3x^2 - 60x + 500$. Berapa unit harus diproduksi agar biaya minimum?

• Fungsi biaya: $C(x) = 3x^2 - 60x + 500$ ($a=3, b=-60$). $a>0$, jadi ada minimum.
• Jumlah unit untuk biaya min: $x_p = -b / (2a) = -(-60) / (2 \times 3) = 60 / 6 = 10$ unit.
• Biaya minimum: $C(10) = 3(10)^2 - 60(10) + 500 = 3(100) - 600 + 500 = 300 - 600 + 500 = 200$ ribu rupiah (atau Rp 200.000).

Latihan

Jumlah dua bilangan positif adalah 16. Tentukan kedua bilangan tersebut agar jumlah kuadratnya minimum, dan hitung jumlah kuadrat minimumnya!

Kunci Jawaban

1. Misal bilangan pertama $x$, bilangan kedua $y$. ($x > 0, y > 0$).

2. Hubungan: $x + y = 16$. Maka $y = 16 - x$.

3. Jumlah Kuadrat: $J = x^2 + y^2$.

   $$J(x) = x^2 + (16 - x)^2$$

   $$J(x) = x^2 + (256 - 32x + x^2)$$

   $$J(x) = 2x^2 - 32x + 256$$

4. Fungsi Jumlah Kuadrat: $J(x) = 2x^2 - 32x + 256$.

   ($a = 2, b = -32$). Karena $a > 0$, ada nilai minimum.

5. Nilai $x$ untuk jumlah kuadrat min:

   $$x_p = -b / (2a) = -(-32) / (2 \times 2) = 32 / 4 = 8$$
   .

6. Nilai $y$:

   $$y = 16 - x = 16 - 8 = 8$$
   .

7. Jumlah Kuadrat Minimum:

   $$J(8) = 2(8)^2 - 32(8) + 256 = 2(64) - 256 + 256 = 128$$
   .

Jadi, kedua bilangan tersebut adalah 8 dan 8 agar jumlah kuadratnya minimum (yaitu 128).