Kode sumberVideo

Command Palette

Search for a command to run...

Bilangan Kompleks

Sifat Penjumlahan Bilangan Kompleks

Sifat-sifat Operasi Dasar

Operasi penjumlahan dan perkalian skalar pada bilangan kompleks ternyata punya sifat-sifat menarik, mirip seperti pada bilangan real lho. Sifat-sifat ini membantu kita dalam melakukan perhitungan.

Misalkan z1z_1, z2z_2, dan z3z_3 adalah bilangan kompleks sembarang, serta cc dan dd adalah skalar (bilangan real) sembarang.

Sifat Terkait Penjumlahan

Komutatif

Urutan penjumlahan tidak penting, hasilnya tetap sama.

z1+z2=z2+z1z_1 + z_2 = z_2 + z_1

Contoh: (2+i)+(1−3i)=(1−3i)+(2+i)=3−2i(2+i) + (1-3i) = (1-3i) + (2+i) = 3-2i

Asosiatif

Saat menjumlahkan tiga bilangan kompleks, pengelompokan penjumlahannya tidak memengaruhi hasil.

(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)(z_1 + z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3)

Identitas Penjumlahan (Elemen Nol)

Ada bilangan kompleks 0=0+0i0 = 0 + 0i (nol) yang jika dijumlahkan dengan bilangan kompleks z1z_1 mana pun, hasilnya adalah z1z_1 itu sendiri.

z1+0=z1z_1 + 0 = z_1

Invers Penjumlahan (Lawan)

Setiap bilangan kompleks z1=x+iyz_1 = x + iy punya invers penjumlahan (lawan), yaitu −z1=−x−iy-z_1 = -x - iy, sehingga jika dijumlahkan hasilnya adalah elemen nol (0).

z1+(−z1)=0z_1 + (-z_1) = 0

Contoh:

Jika z1=5−2iz_1 = 5-2i, maka −z1=−5+2i-z_1 = -5+2i.

Maka (5−2i)+(−5+2i)=(5−5)+i(−2+2)=0+0i=0(5-2i) + (-5+2i) = (5-5) + i(-2+2) = 0 + 0i = 0.

Sifat Terkait Perkalian Skalar dan Penjumlahan

Asosiatif

Pengelompokan perkalian skalar tidak memengaruhi hasil.

c(dz1)=(cd)z1c(dz_1) = (cd)z_1

Distributif Skalar terhadap Penjumlahan Skalar

Skalar bisa didistribusikan terhadap penjumlahan skalar.

(c+d)z1=cz1+dz1(c + d)z_1 = cz_1 + dz_1

Distributif Skalar terhadap Penjumlahan Kompleks

Skalar bisa didistribusikan terhadap penjumlahan bilangan kompleks.

c(z1+z2)=cz1+cz2c(z_1 + z_2) = cz_1 + cz_2

Identitas Perkalian Skalar

Mengalikan bilangan kompleks dengan skalar 1 tidak mengubah bilangan kompleks tersebut.

1z1=z11 z_1 = z_1

Perkalian dengan Skalar Nol

Mengalikan bilangan kompleks dengan skalar 0 menghasilkan bilangan kompleks nol.

0z1=00 z_1 = 0

Menggunakan Sifat-sifat Operasi

Sifat-sifat ini bisa kita gunakan untuk menyederhanakan atau membuktikan ekspresi yang melibatkan bilangan kompleks.

Contoh Penggunaan Sifat

Tunjukkan bahwa untuk sembarang bilangan kompleks zz, berlaku 4z+(−4)z=04z + (-4)z = 0.

Penyelesaian:

Kita bisa gunakan sifat distributif skalar terhadap penjumlahan skalar (sifat f) dan sifat perkalian dengan skalar nol (sifat i).

4z+(−4)z=(4+(−4))z(Sifat Distributif)4z + (-4)z = (4 + (-4))z \quad \text{(Sifat Distributif)}
=(0)z(Penjumlahan skalar)= (0)z \quad \text{(Penjumlahan skalar)}
=0(Sifat Perkalian Skalar Nol)= 0 \quad \text{(Sifat Perkalian Skalar Nol)}

Jadi, terbukti bahwa 4z+(−4)z=04z + (-4)z = 0.

Latihan

Dengan menggunakan sifat-sifat di atas, buktikan bahwa 3z−12(2z)=2z3z - \frac{1}{2}(2z) = 2z untuk sembarang bilangan kompleks zz.

Kunci Jawaban

3z−12(2z)=3z+(−12)(2z)(Definisi pengurangan)3z - \frac{1}{2}(2z) = 3z + (-\frac{1}{2})(2z) \quad \text{(Definisi pengurangan)}
=3z+((−12)×2)z(Sifat Asosiatif Perkalian Skalar)= 3z + ((-\frac{1}{2}) \times 2)z \quad \text{(Sifat Asosiatif Perkalian Skalar)}
=3z+(−1)z(Perkalian skalar)= 3z + (-1)z \quad \text{(Perkalian skalar)}
=(3+(−1))z(Sifat Distributif)= (3 + (-1))z \quad \text{(Sifat Distributif)}
=(2)z(Penjumlahan skalar)= (2)z \quad \text{(Penjumlahan skalar)}
=2z= 2z

Jadi, terbukti bahwa 3z−12(2z)=2z3z - \frac{1}{2}(2z) = 2z.

Sebelumnya

Penjumlahan Bilangan Kompleks

Selanjutnya

Perkalian Skalar Bilangan Kompleks