Argumen Utama Bilangan Kompleks

Memahami Argumen Utama

Argumen $\theta$ dari bilangan kompleks $z = x + iy$ adalah sudut yang dibentuk vektor $z$ terhadap sumbu riil positif.

Namun, ada satu hal penting, argumen bukanlah nilai tunggal!

Jika $\theta$ adalah argumen dari $z$, maka $\theta + 2\pi k$ (dengan $k$ bilangan bulat: $0, \pm 1, \pm 2, \ldots$) juga merupakan argumen dari $z$, karena menambahkan kelipatan $360^\circ$ atau $2\pi$ radian akan menghasilkan sudut yang sama pada bidang kompleks.

Contohnya:

sudut $45^\circ$, $405^\circ$ ($45^\circ + 360^\circ$), dan $-315^\circ$ ($45^\circ - 360^\circ$) semuanya menunjukkan arah yang sama.

Karena ada tak hingga banyaknya argumen untuk satu bilangan kompleks, kita seringkali membutuhkan satu nilai standar yang unik. Nilai inilah yang disebut Argumen Utama.

Definisi Argumen Utama

Argumen Utama dari bilangan kompleks $z = r(\cos \theta + i\sin \theta)$ adalah nilai unik dari argumen $\theta$ yang memenuhi rentang tertentu.

Argumen Utama (dinotasikan $\text{Arg}(z)$) didefinisikan sebagai argumen $\theta$ yang memenuhi:

Definisi lain terkadang menggunakan rentang $(-\pi, \pi]$ atau $(-180^\circ, 180^\circ]$. Penting untuk selalu memeriksa definisi yang digunakan dalam konteks tertentu.

Menentukan Argumen Utama

Cara menentukan Argumen Utama sama seperti mencari argumen biasa, namun kita perlu memastikan hasil akhirnya berada dalam rentang $[0, 2\pi)$ atau $[0^\circ, 360^\circ)$.

Mencari Argumen Utama

1. Tentukan Argumen Utama dari $z = 1 + i$

   Titik $(1, 1)$ berada di Kuadran $I$.

   $$\tan \theta = \frac{y}{x} = \frac{1}{1} = 1$$

   $$\theta = \arctan(1) = 45^\circ$$

   Karena $45^\circ$ sudah berada dalam rentang $[0^\circ, 360^\circ)$, maka Argumen Utama adalah:

   $$\text{Arg}(z) = 45^\circ \text{ atau } \frac{\pi}{4} \text{ radian}$$

2. Tentukan Argumen Utama dari $z = \sqrt{3} + i$

   Titik $(\sqrt{3}, 1)$ berada di Kuadran $I$.

   $$\tan \theta = \frac{y}{x} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$

   $$\theta = \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 30^\circ$$

   Karena $30^\circ$ sudah berada dalam rentang $[0^\circ, 360^\circ)$, maka Argumen Utama adalah:

   $$\text{Arg}(z) = 30^\circ \text{ atau } \frac{\pi}{6} \text{ radian}$$

Kesamaan Dua Bilangan Kompleks dalam Bentuk Polar

Dua bilangan kompleks $z_1 = r_1(\cos \theta_1 + i\sin \theta_1)$ dan $z_2 = r_2(\cos \theta_2 + i\sin \theta_2)$ dikatakan sama jika dan hanya jika:

1. Modulusnya sama:

   $r_1 = r_2$ (atau $|z_1| = |z_2|$)

2. Argumennya sama atau berbeda kelipatan $2\pi$ (atau $360^\circ$):

   $\theta_1 = \theta_2 + 2k\pi$ atau $\theta_1 - \theta_2 = 2k\pi$ untuk suatu bilangan bulat $k$.

Jika kita menggunakan Argumen Utama (dengan rentang $[0, 2\pi)$), syarat kedua menjadi lebih sederhana: $\text{Arg}(z_1) = \text{Arg}(z_2)$.

Pengecekan Kesamaan

Tentukan apakah pasangan bilangan kompleks berikut sama atau berbeda?

1. $z_1 = \sqrt{2}(\cos 45^\circ + i\sin 45^\circ)$ dan $z_2 = \sqrt{2}(\cos 95^\circ + i\sin 95^\circ)$
2. $z_1 = \cos 30^\circ + i\sin 30^\circ$ dan $z_2 = \cos 390^\circ + i\sin 390^\circ$

Penyelesaian:

1. Perhatikan:

   • Modulus: $|z_1| = \sqrt{2}$ dan $|z_2| = \sqrt{2}$. (Sama)
   • Argumen Utama: $\text{Arg}(z_1) = 45^\circ$ dan $\text{Arg}(z_2) = 95^\circ$. (Berbeda)

   Karena argumen utamanya berbeda ($45^\circ \neq 95^\circ$), maka $z_1 \neq z_2$.

2. Perhatikan:

   • Modulus: $|z_1| = 1$ dan $|z_2| = 1$. (Sama)
   • Argumen: $\theta_1 = 30^\circ$ dan $\theta_2 = 390^\circ$.
   • Selisih argumen: $\theta_1 - \theta_2 = 30^\circ - 390^\circ = -360^\circ$.

   Karena selisih argumennya adalah kelipatan $360^\circ$ ($-360^\circ = -1 \times 360^\circ$), maka $z_1 = z_2$.

   Atau, kita bisa lihat bahwa Argumen Utama $z_2$ adalah $390^\circ - 360^\circ = 30^\circ$, yang sama dengan Argumen Utama $z_1$.

Latihan

Tentukan Argumen Utama (dalam derajat) untuk bilangan kompleks berikut:

1. $1 + \sqrt{3}i$
2. $-i$

Kunci Jawaban

1. Untuk $z = 1 + \sqrt{3}i$:

   Titik $(1, \sqrt{3})$ ada di Kuadran $I$.

   $$\tan \theta = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$$

   $$\theta = \arctan(\sqrt{3}) = 60^\circ$$

   Karena $60^\circ \in [0^\circ, 360^\circ)$, maka $\text{Arg}(z) = 60^\circ$.

2. Untuk $z = -i$:

   Dapat ditulis $z = 0 - 1i$. Titik $(0, -1)$ berada pada sumbu imajiner negatif.

   $$\tan \theta = \frac{y}{x} = \frac{-1}{0} = \infty$$

   $$\theta = \arctan\left(\infty\right) = 90^\circ$$

   Argumennya adalah $270^\circ$ (atau $-90^\circ$).

   Karena kita mencari Argumen Utama dalam rentang $[0^\circ, 360^\circ)$, maka $\text{Arg}(z) = 270^\circ$.