Sifat Argumen Utama Bilangan Kompleks

Sifat Argumen pada Operasi Bilangan Kompleks

Bagaimana argumen berperilaku ketika bilangan kompleks dikalikan atau dibagi?

Sifat-sifat ini sangat berguna, terutama saat bekerja dengan bentuk polar atau eksponensial.

Misalkan kita punya dua bilangan kompleks:

Di mana $\theta_1$ adalah salah satu argumen dari $z_1$ dan $\theta_2$ adalah salah satu argumen dari $z_2$.

Argumen Hasil Kali

Argumen dari hasil kali dua bilangan kompleks ($z_1 \times z_2$) adalah jumlah dari argumen masing-masing bilangan kompleks.

Secara matematis, hubungan antara himpunan argumennya adalah:

Ini berarti jika $\theta_1$ adalah argumen $z_1$ dan $\theta_2$ adalah argumen $z_2$,

maka $\theta_1 + \theta_2$ adalah salah satu argumen dari $z_1 z_2$.

Untuk mencari Argumen Utama $\text{Arg}(z_1 z_2)$:

1. Hitung $\text{Arg}(z_1) + \text{Arg}(z_2)$.
2. Jika hasilnya sudah berada dalam rentang $[0^\circ, 360^\circ)$ (atau $[0, 2\pi)$), itulah Argumen Utamanya.
3. Jika hasilnya di luar rentang, tambahkan atau kurangkan kelipatan $360^\circ$ (atau $2\pi$) agar masuk ke dalam rentang tersebut.

Argumen Hasil Bagi

Argumen dari hasil bagi dua bilangan kompleks ($\frac{z_1}{z_2}$, dengan $z_2 \neq 0$) adalah selisih dari argumen bilangan kompleks pembilang ($z_1$) dikurangi argumen bilangan kompleks penyebut ($z_2$).

Hubungan antara himpunan argumennya:

Ini berarti jika $\theta_1$ adalah argumen $z_1$ dan $\theta_2$ adalah argumen $z_2$,

maka $\theta_1 - \theta_2$ adalah salah satu argumen dari $\frac{z_1}{z_2}$.

Untuk mencari Argumen Utama $\text{Arg}\left(\frac{z_1}{z_2}\right)$:

1. Hitung $\text{Arg}(z_1) - \text{Arg}(z_2)$.
2. Jika hasilnya sudah berada dalam rentang $[0^\circ, 360^\circ)$ (atau $[0, 2\pi)$), itulah Argumen Utamanya.
3. Jika hasilnya di luar rentang, tambahkan atau kurangkan kelipatan $360^\circ$ (atau $2\pi$) agar masuk ke dalam rentang tersebut.

Penggunaan Sifat Argumen

Diberikan dua bilangan kompleks:

Tentukan Argumen Utama dari $z_1 \times z_2$ dan $\frac{z_1}{z_2}$.

Penyelesaian:

Kita tahu Argumen Utama dari masing-masing adalah:

1. Argumen Hasil Kali ($z_1 \times z_2$):

   Jumlah Argumen Utama:

   $$\text{Arg}(z_1) + \text{Arg}(z_2) = 45^\circ + 95^\circ = 140^\circ$$

   Karena $140^\circ$ sudah berada dalam rentang $[0^\circ, 360^\circ)$, maka:

   $$\text{Arg}(z_1 \times z_2) = 140^\circ$$

   Himpunan semua argumennya adalah $\{140^\circ + k \cdot 360^\circ : k \in \mathbb{Z}\}$

2. Argumen Hasil Bagi ($\frac{z_1}{z_2}$):

   Selisih Argumen Utama:

   $$\text{Arg}(z_1) - \text{Arg}(z_2) = 45^\circ - 95^\circ = -50^\circ$$

   Karena $-50^\circ$ berada di luar rentang $[0^\circ, 360^\circ)$, kita perlu menambahkan $360^\circ$:

   $$-50^\circ + 360^\circ = 310^\circ$$

   Maka:

   $$\text{Arg}\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = 310^\circ$$

   Himpunan semua argumennya adalah $\{-50^\circ + k \cdot 360^\circ : k \in \mathbb{Z}\}$, yang sama dengan $\{310^\circ + k \cdot 360^\circ : k \in \mathbb{Z}\}$.

Latihan

Diketahui $z_a = 4(\cos 120^\circ + i\sin 120^\circ)$ dan $z_b = 2(\cos 50^\circ + i\sin 50^\circ)$. Tentukan:

1. $\text{Arg}(z_a \times z_b)$
2. $\text{Arg}\left(\frac{z_a}{z_b}\right)$

Kunci Jawaban

Diketahui $\text{Arg}(z_a) = 120^\circ$ dan $\text{Arg}(z_b) = 50^\circ$.

1. Argumen Hasil Kali:

   $$\text{Arg}(z_a) + \text{Arg}(z_b) = 120^\circ + 50^\circ = 170^\circ$$

   Karena $170^\circ \in [0^\circ, 360^\circ)$, maka $\text{Arg}(z_a z_b) = 170^\circ$.

2. Argumen Hasil Bagi:

   $$\text{Arg}(z_a) - \text{Arg}(z_b) = 120^\circ - 50^\circ = 70^\circ$$

   Karena $70^\circ \in [0^\circ, 360^\circ)$, maka $\text{Arg}\left(\frac{z_a}{z_b}\right) = 70^\circ$.