Fungsi Nilai Mutlak

Pengertian Fungsi Nilai Mutlak

Fungsi nilai mutlak adalah fungsi yang menghasilkan nilai positif atau nol dari setiap input, tanpa memperhatikan tanda asli dari input tersebut. Secara geometris, nilai mutlak dapat dipahami sebagai jarak suatu bilangan dari titik nol pada garis bilangan.

Definisi Matematika

Untuk sebarang bilangan real $x$, fungsi nilai mutlak didefinisikan sebagai:

Komponen fungsi nilai mutlak:

• Simbol $|x|$ dibaca "nilai mutlak x"
• Hasil fungsi selalu non-negatif ($|x| \geq 0$)
• Fungsi ini bersifat genap: $|-x| = |x|$

Sifat-sifat Fungsi Nilai Mutlak

Fungsi nilai mutlak memiliki beberapa sifat penting yang perlu dipahami:

Sifat dasar:

Sifat ketidaksamaan segitiga:

Grafik Fungsi Nilai Mutlak

Berikut adalah visualisasi fungsi nilai mutlak dasar:

Tabel nilai fungsi $f(x) = |x|$:

Transformasi Fungsi Nilai Mutlak

Fungsi nilai mutlak dapat ditransformasi dengan berbagai cara:

Translasi Vertikal

Fungsi $f(x) = |x| + k$ menggeser grafik ke atas (jika $k > 0$) atau ke bawah (jika $k < 0$).

Translasi Horizontal

Fungsi $f(x) = |x - h|$ menggeser grafik ke kanan (jika $h > 0$) atau ke kiri (jika $h < 0$).

Peregangan dan Penyusutan

Fungsi $f(x) = a|x|$ mengubah kemiringan grafik:

• Jika $a > 1$: grafik menjadi lebih curam
• Jika $0 < a < 1$: grafik menjadi lebih landai
• Jika $a < 0$: grafik terbalik (refleksi terhadap sumbu x)

Supaya lebih mudah dipahami, mari kita lihat contoh berikut:

Bentuk Umum Fungsi Nilai Mutlak

Bentuk umum fungsi nilai mutlak adalah:

dengan:

• $a$: faktor peregangan/penyusutan dan refleksi
• $h$: translasi horizontal
• $k$: translasi vertikal
• Titik puncak (vertex) berada di $(h, k)$

Tabel transformasi:

Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Menyelesaikan persamaan nilai mutlak:

Untuk menyelesaikan $|x| = a$ dengan $a \geq 0$:

Contoh: Selesaikan $|x - 3| = 5$

Menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak:

Untuk $|x| < a$ dengan $a > 0$:

Untuk $|x| > a$ dengan $a > 0$:

Latihan

1. Tentukan nilai dari $f(x) = |2x - 6|$ untuk $x = -1, 0, 3, 5$

2. Selesaikan persamaan $|3x + 1| = 7$

3. Selesaikan pertidaksamaan $|x - 2| < 4$

4. Tentukan titik puncak dari fungsi $f(x) = 2|x - 3| + 1$

5. Jarak antara dua kota adalah 150 km. Jika kota A berada di koordinat -50 km, di mana letak kota B?

Kunci Jawaban

1. Menghitung nilai fungsi untuk berbagai input:

   Substitusi setiap nilai x ke dalam fungsi $f(x) = |2x - 6|$:

   $$f(-1) = |2(-1) - 6| = |-2 - 6| = |-8| = 8$$

   $$f(0) = |2(0) - 6| = |0 - 6| = |-6| = 6$$

   $$f(3) = |2(3) - 6| = |6 - 6| = |0| = 0$$

   $$f(5) = |2(5) - 6| = |10 - 6| = |4| = 4$$

2. Menyelesaikan persamaan nilai mutlak:

   Untuk persamaan $|3x + 1| = 7$, kita gunakan definisi nilai mutlak yang menghasilkan dua kemungkinan:

   $$3x + 1 = 7 \quad \text{atau} \quad 3x + 1 = -7$$

   $$3x = 6 \quad \text{atau} \quad 3x = -8$$

   $$x = 2 \quad \text{atau} \quad x = -\frac{8}{3}$$

3. Menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak:

   Untuk $|x - 2| < 4$, kita gunakan sifat bahwa $|a| < b$ ekuivalen dengan $-b < a < b$:

   $$-4 < x - 2 < 4$$

   $$-4 + 2 < x < 4 + 2$$

   $$-2 < x < 6$$

   Jadi himpunan penyelesaiannya adalah $x \in (-2, 6)$.

4. Menentukan titik puncak (vertex):

   Dari fungsi $f(x) = 2|x - 3| + 1$, kita dapat mengidentifikasi parameter:

   • $a = 2$ (faktor peregangan)
   • $h = 3$ (translasi horizontal)
   • $k = 1$ (translasi vertikal)

   Titik puncak berada di $(h, k) = (3, 1)$.

5. Menghitung posisi berdasarkan jarak:

   Diketahui jarak antara kota A dan B adalah 150 km, dengan kota A di koordinat -50 km. Misalkan kota B berada di koordinat $x_B$:

   $$|-50 - x_B| = 150$$

   $$-50 - x_B = 150 \quad \text{atau} \quad -50 - x_B = -150$$

   $$x_B = -50 - 150 = -200 \quad \text{atau} \quad x_B = -50 + 150 = 100$$

   Jadi kota B dapat berada di koordinat 100 km atau -200 km.