Konsep Fungsi Logaritma

Apa itu Fungsi Logaritma?

Pernahkah kalian bertanya-tanya berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk investasi kalian menjadi dua kali lipat? Jawabannya ada pada fungsi logaritma! Logaritma adalah "kebalikan" dari eksponensial. Jika eksponensial menjawab "berapa hasilnya?", maka logaritma menjawab "berapa pangkatnya?".

Mari kita mulai dengan contoh sederhana. Jika kita memiliki:

2^3 = 8

Pertanyaan: "Berapa pangkat dari 2 yang menghasilkan 8?" Jawabannya adalah 3. Inilah yang dijawab oleh logaritma:

\log_2 8 = 3

Secara umum, hubungan antara eksponensial dan logaritma:

y = b^x \quad \Leftrightarrow \quad x = \log_b y

Definisi dan Jenis Logaritma

Fungsi logaritma dengan basis $b$ (dimana $b > 0$ dan $b \neq 1$ ) dinyatakan sebagai:

f(x) = \log_b x \quad \text{untuk setiap } x > 0

Jenis-jenis logaritma yang sering digunakan:

Logaritma Umum (basis 10): $f(x) = \log x$

Contoh: $\log 100 = 2$ karena $10^2 = 100$
Logaritma Natural (basis $e \approx 2.7183$ ): $f(x) = \ln x$

Contoh: $\ln e = 1$ karena $e^1 = e$
Logaritma Biner (basis 2): $f(x) = \log_2 x$

Contoh: $\log_2 8 = 3$ karena $2^3 = 8$

Grafik Fungsi Logaritma

Perbandingan Fungsi Eksponensial dan Logaritma

Grafik

y = \log_2 x

adalah pencerminan dari

y = 2^x

terhadap garis

y = x

Karakteristik grafik $f(x) = \log_b x$ dengan $b > 1$ :

Domain: $x > 0$ (hanya bilangan positif)
Range: Semua bilangan real
Titik potong sumbu x: $(1, 0)$
Asimtot vertikal: Sumbu y ( $x = 0$ )
Fungsi naik untuk $b > 1$

Sifat-sifat Logaritma

Sifat Dasar

\log_b 1 = 0

\log_b b = 1

\log_b b^n = n

b^{\log_b x} = x

Sifat Operasi

\log_b (xy) = \log_b x + \log_b y

\log_b \left(\frac{x}{y}\right) = \log_b x - \log_b y

\log_b x^n = n \cdot \log_b x

\log_b x = \frac{\log_a x}{\log_a b} \quad \text{(perubahan basis)}

Model Penyebaran COVID-19

Pada awal pandemi, penyebaran COVID-19 di Indonesia dapat dimodelkan dengan fungsi eksponensial. Jika pada 2 Maret 2020 ada 2 kasus dan dalam 60 hari mencapai 10.118 kasus, maka:

P(t) = 2e^{\frac{1}{60}\ln(5059)t}

Model Penyebaran COVID-19

Pertumbuhan eksponensial kasus COVID-19

Menggunakan logaritma, kita dapat menghitung kapan akan ada 50.000 kasus:

50000 = 2e^{\frac{1}{60}\ln(5059)t}

t = \frac{60 \cdot \ln(25000)}{\ln(5059)} \approx 81.4 \text{ hari}

Latihan

Tentukan nilai dari:
- $\log_3 27$
- $\log_5 \frac{1}{125}$
- $\ln e^3$
Jika $\log_2 x = 4$ , tentukan nilai $x$ .
Sederhanakan: $\log_2 8 + \log_2 4 - \log_2 2$
Sebuah investasi tumbuh mengikuti rumus $A = 1000 \cdot 2^t$ (dalam juta rupiah). Berapa tahun yang dibutuhkan agar investasi menjadi 8 miliar rupiah?

Kunci Jawaban

- $\log_3 27 = 3$
- $\log_5 \frac{1}{125} = -3$
- $\ln e^3 = 3$
$x = 2^4 = 16$
$\log_2 8 + \log_2 4 - \log_2 2 = 3 + 2 - 1 = 4$
$8000 = 1000 \cdot 2^t \Rightarrow 8 = 2^t \Rightarrow t = 3$ tahun

Command Palette