Command Palette

Search for a command to run...

Fungsi dan Pemodelannya

Grafik Fungsi Logaritma

Mengenal Grafik Fungsi Logaritma

Pernahkah kalian memperhatikan bagaimana suara berkurang intensitasnya saat kita menjauh dari sumbernya? Atau bagaimana pH larutan berubah? Fenomena-fenomena ini dapat dimodelkan dengan grafik fungsi logaritma. Mari kita pelajari karakteristik dan cara menggambar grafik fungsi logaritma.

Karakteristik Grafik Logaritma

Grafik fungsi logaritma memiliki bentuk yang khas dan berbeda dengan fungsi-fungsi lainnya. Mari kita lihat grafik dasar y=logbxy = \log_b x untuk berbagai nilai basis.

Perbandingan Grafik Logaritma dengan Basis Berbeda
Grafik fungsi logaritma untuk b>1b > 1.

Sifat-sifat Penting Grafik Logaritma

Untuk fungsi f(x)=logbxf(x) = \log_b x dengan b>1b > 1:

  1. Domain: x>0x > 0 (hanya bilangan positif)
  2. Range: Semua bilangan real (<y<-\infty < y < \infty)
  3. Titik potong sumbu x: (1,0)(1, 0) karena logb1=0\log_b 1 = 0
  4. Asimtot vertikal: Sumbu y (x=0x = 0)
  5. Perilaku fungsi:
    • Naik untuk b>1b > 1
    • Turun untuk 0<b<10 < b < 1

Menggambar Grafik Fungsi Logaritma

Mari kita pelajari langkah-langkah menggambar grafik fungsi logaritma dengan contoh konkret.

  1. Menggambar y=log2xy = \log_2 x

    Untuk menggambar grafik ini, kita buat tabel nilai dengan memilih nilai xx yang merupakan pangkat dari 2:

    xx18\frac{1}{8}14\frac{1}{4}12\frac{1}{2}1248
    y=log2xy = \log_2 x-3-2-10123
    Grafik y=log2xy = \log_2 x
    Perhatikan titik-titik penting dan bentuk kurva.
  2. Menggambar y=log13xy = \log_{\frac{1}{3}} x

    Untuk basis 0<b<10 < b < 1, grafik akan menurun:

    xx127\frac{1}{27}19\frac{1}{9}13\frac{1}{3}13927
    y=log13xy = \log_{\frac{1}{3}} x3210-1-2-3
    Grafik y=log13xy = \log_{\frac{1}{3}} x
    Grafik menurun karena basis kurang dari 1.

Perbandingan Grafik Logaritma

Mari kita bandingkan grafik logaritma dengan basis berbeda dalam satu koordinat:

Perbandingan Grafik Logaritma b>1b > 1 dan 0<b<10 < b < 1.
Perhatikan perbedaan arah grafik.
Sifatb>1b > 10<b<10 < b < 1
Arah grafikNaik (monoton naik)Turun (monoton turun)
Domainx>0x > 0x>0x > 0
RangeSemua bilangan realSemua bilangan real
Titik potong sumbu x(1,0)(1, 0)(1,0)(1, 0)
Asimtot vertikalx=0x = 0x=0x = 0

Transformasi Grafik Logaritma

Grafik logaritma dapat ditransformasi dengan berbagai cara:

Translasi Vertikal

Kita dapat menggeser grafik fungsi logaritma dengan menambahkan atau mengurangi konstanta kk pada fungsi.

y=logbx+ky = \log_b x + k
Translasi Vertikal
Grafik bergeser ke atas jika k>0k > 0 dan ke bawah jika k<0k < 0.

Translasi Horizontal

Kita dapat menggeser grafik fungsi logaritma dengan menambahkan atau mengurangi konstanta hh pada fungsi.

y=logb(xh)y = \log_b (x - h)
Translasi Horizontal
Grafik bergeser ke kanan jika h>0h > 0 dan ke kiri jika h<0h < 0.

Latihan

  1. Buatlah tabel nilai dan gambarlah grafik fungsi:

    • y=log3xy = \log_3 x
    • y=log12xy = \log_{\frac{1}{2}} x
  2. Tentukan domain, range, dan asimtot dari fungsi f(x)=log5(x+3)f(x) = \log_5 (x + 3).

  3. Jika f(x)=log2xf(x) = \log_2 x dan g(x)=log2(x4)g(x) = \log_2 (x - 4), tentukan:

    • Pergeseran grafik g(x)g(x) terhadap f(x)f(x)
    • Domain dari g(x)g(x)
  4. Sketsa grafik y=log3x+2y = \log_3 x + 2 dan tentukan titik potong dengan sumbu y.

Kunci Jawaban

  1. Tabel nilai:

    Untuk y=log3xy = \log_3 x:

    xx19\frac{1}{9}13\frac{1}{3}139
    yy-2-1012

    Untuk y=log12xy = \log_{\frac{1}{2}} x:

    xx14\frac{1}{4}12\frac{1}{2}124
    yy210-1-2
  2. Untuk f(x)=log5(x+3)f(x) = \log_5 (x + 3):

    • Domain: x+3>0x>3x + 3 > 0 \Rightarrow x > -3
    • Range: Semua bilangan real
    • Asimtot vertikal: x=3x = -3
  3. Untuk g(x)=log2(x4)g(x) = \log_2 (x - 4):

    • Pergeseran: 4 satuan ke kanan
    • Domain: x4>0x>4x - 4 > 0 \Rightarrow x > 4
  4. Untuk y=log3x+2y = \log_3 x + 2:

    • Grafik y=log3xy = \log_3 x digeser 2 satuan ke atas
    • Tidak ada titik potong dengan sumbu y karena domain adalah x>0x > 0
    Sketsa Grafik y=log3x+2y = \log_3 x + 2
    Grafik logaritma basis 3 yang digeser 2 satuan ke atas.