Grafik Fungsi Trigonometri

Memahami Grafik Fungsi Trigonometri

Pernahkah kalian melihat gelombang air laut? Gerakan naik-turunnya membentuk pola yang berulang secara teratur. Ternyata, pola ini dapat dimodelkan dengan fungsi trigonometri.

Untuk membaca grafik fungsi trigonometri, kita perlu memahami ukuran sudut dalam radian. Dalam kehidupan sehari-hari, kita terbiasa menggunakan derajat. Namun dalam matematika tingkat lanjut, radian lebih sering digunakan.

Konversi Derajat dan Radian

Satu putaran penuh lingkaran adalah $360^\circ$ atau $2\pi$ radian. Hubungan ini memberikan kita rumus konversi:

Contoh Konversi

Mengubah derajat ke radian:

Mengubah radian ke derajat:

Apa itu Amplitudo dan Periode?

Dua konsep kunci pada grafik fungsi trigonometri adalah amplitudo dan periode.

Amplitudo

Amplitudo adalah jarak maksimum dari garis tengah (sumbu $x$) ke puncak atau lembah grafik. Untuk fungsi $y = A \sin x$ atau $y = A \cos x$, amplitudo adalah $|A|$.

Periode

Periode adalah panjang interval yang diperlukan untuk satu siklus lengkap. Untuk fungsi $y = \sin(Bx)$ atau $y = \cos(Bx)$, periode adalah $\frac{2\pi}{|B|}$.

Rumus Umum

Untuk fungsi trigonometri dalam bentuk:

• $y = A \sin(Bx)$ dan $y = A \cos(Bx)$:

  $$y = A \sin(Bx)$$

  $$y = A \cos(Bx)$$

• $y = A \tan(Bx)$:

  $$y = A \tan(Bx)$$

  $$\text{Amplitudo} = \text{tidak terdefinisi (tak terbatas)}$$

  $$\text{Periode} = \frac{\pi}{|B|}$$

Grafik Fungsi Sinus

Fungsi $y = \sin x$ adalah fungsi periodik dengan periode $2\pi$. Artinya, pola grafiknya berulang setiap interval $2\pi$.

Karakteristik grafik $y = \sin x$:

• Periode: $2\pi$ (grafik berulang setiap $2\pi \text{ satuan}$)
• Amplitudo: 1 (nilai maksimum - minimum dibagi 2)
• Domain: Semua bilangan real
• Range: $[-1, 1]$
• Titik potong sumbu $x$: $x = n\pi$ untuk $n$ bilangan bulat
• Nilai maksimum: 1 pada $x = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$
• Nilai minimum: -1 pada $x = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi$

Grafik Fungsi Kosinus

Fungsi $y = \cos x$ memiliki bentuk yang mirip dengan sinus, tetapi bergeser $\frac{\pi}{2}$ ke kiri.

Karakteristik grafik $y = \cos x$:

• Periode: $2\pi$
• Amplitudo: 1
• Domain: Semua bilangan real
• Range: $[-1, 1]$
• Titik potong sumbu $x$: $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$
• Nilai maksimum: 1 pada $x = 2n\pi$
• Nilai minimum: -1 pada $x = \pi + 2n\pi$

Perbandingan Sin dan Cos

Grafik Fungsi Tangen

Fungsi $y = \tan x$ berbeda dengan $\sin$ dan $\cos$ karena memiliki asimtot vertikal.

Karakteristik grafik $y = \tan x$:

• Periode: $\pi$ (lebih pendek dari $\sin$ dan $\cos$)
• Amplitudo: Tidak terdefinisi
• Domain: $x \neq \frac{\pi}{2} + n\pi$
• Range: Semua bilangan real
• Asimtot vertikal: $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$
• Titik potong sumbu $x$: $x = n\pi$

Transformasi Fungsi Trigonometri

Perubahan Amplitudo

Fungsi $y = A \sin x$ mengubah amplitudo menjadi $|A|$.

Perubahan Periode

Fungsi $y = \sin(Bx)$ mengubah periode menjadi $\frac{2\pi}{|B|}$.

Pergeseran Vertikal dan Horizontal

Bentuk umum:

• $A$: Amplitudo
• $B$: Mempengaruhi periode ( $\text{periode} = \frac{2\pi}{|B|}$)
• $C$: Pergeseran horizontal (fase)
• $D$: Pergeseran vertikal

Perhatikan pergeseran horizontal dan vertikal dari grafik:

Latihan

1. Konversikan sudut berikut:

   • $120^\circ$ ke radian
   • $\frac{5\pi}{6}$ radian ke derajat

2. Tentukan periode dan amplitudo dari:

   • $y = 3 \sin(2x)$
   • $y = -2 \cos(\frac{x}{3})$

3. Sketsakan grafik $y = 2 \sin(x + \frac{\pi}{3}) - 1$. Tentukan:

   • Amplitudo
   • Periode
   • Pergeseran fase
   • Pergeseran vertikal

4. Jika tinggi air pasang surut dimodelkan dengan $h(t) = 2 \sin(\frac{\pi t}{6}) + 5 \text{ meter}$, dimana t dalam jam:

   • Berapa tinggi air maksimum dan minimum?
   • Berapa periode pasang surut?

5. Tentukan persamaan fungsi trigonometri yang memiliki:

   • Amplitudo 3
   • Periode $\pi$
   • Bergeser $\frac{\pi}{4}$ ke kanan
   • Bergeser $2 \text{ satuan}$ ke atas

Kunci Jawaban

1. Konversi sudut:

   • $120^\circ = 120 \times \frac{\pi}{180} = \frac{2\pi}{3}$ radian
   • $\frac{5\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} \times \frac{180}{\pi} = 150^\circ$

2. Periode dan amplitudo:

   • $y = 3 \sin(2x)$: Amplitudo = 3, Periode adalah $\frac{2\pi}{2} = \pi$
   • $y = -2 \cos(\frac{x}{3})$: Amplitudo = 2, Periode adalah $\frac{2\pi}{1/3} = 6\pi$

3. Untuk $y = 2 \sin(x + \frac{\pi}{3}) - 1$:

   • Amplitudo: 2
   • Periode: $2\pi$
   • Pergeseran fase: $\frac{\pi}{3}$ ke kiri
   • Pergeseran vertikal: $1 \text{ satuan}$ ke bawah

4. Untuk $h(t) = 2 \sin(\frac{\pi t}{6}) + 5$:

   • Tinggi maksimum: $5 + 2 = 7 \text{ meter}$
   • Tinggi minimum: $5 - 2 = 3 \text{ meter}$
   • Periode: $\frac{2\pi}{\pi/6} = 12 \text{ jam}$

5. Persamaan yang memenuhi syarat:

   $$y = 3 \sin(2(x - \frac{\pi}{4})) + 2$$

   atau

   $$y = 3 \sin(2x - \frac{\pi}{2}) + 2$$