Fungsi Trigonometri Sebarang Sudut

Memahami Sudut Lebih dari 90°

Pernahkah kalian memperhatikan jarum jam? Saat jarum menit bergerak dari angka 12 ke angka 6, ia membentuk sudut 180°. Bahkan dalam satu putaran penuh, jarum tersebut membentuk sudut 360°.

Dalam matematika, kita perlu memahami nilai trigonometri untuk sudut-sudut seperti ini. Tidak hanya terbatas pada sudut lancip dalam segitiga siku-siku.

Lingkaran Satuan

Untuk memahami fungsi trigonometri sebarang sudut, kita menggunakan lingkaran satuan. Lingkaran dengan jari-jari tepat 1 satuan yang berpusat di titik $O(0,0)$.

Mari kita pahami dengan detail:

• Sudut $\theta$ selalu diukur dari sumbu x positif
• Arah positif adalah berlawanan arah jarum jam
• Setiap titik pada lingkaran memiliki koordinat $(x, y)$

Definisi penting:

Mengapa Tanda Berubah di Setiap Kuadran?

Perhatikan bahwa saat titik bergerak mengelilingi lingkaran, koordinat x dan y bisa positif atau negatif. Ini yang menyebabkan tanda fungsi trigonometri berubah.

Tanda di setiap kuadran:

Supaya kalian tidak bingung, kita bisa mengingatnya dengan "All Students Take Calculus". Di kuadran I All positif, di kuadran II hanya Sin positif, di kuadran III hanya Tan positif, di kuadran IV hanya Cos positif.

Sudut Referensi

Sudut referensi adalah sudut lancip (0° sampai 90°) yang dibentuk antara sisi terminal sudut dengan sumbu x terdekat. Konsep ini memungkinkan kita menggunakan nilai trigonometri sudut lancip yang sudah kita hafal.

Cara menentukan sudut referensi ($\alpha$):

• Kuadran I: $\alpha = \theta$
• Kuadran II: $\alpha = 180° - \theta$
• Kuadran III: $\alpha = \theta - 180°$
• Kuadran IV: $\alpha = 360° - \theta$

Menentukan Nilai Trigonometri

Berikut langkah sistematis untuk menentukan nilai fungsi trigonometri:

1. Sederhanakan sudut (jika lebih dari 360° atau negatif)
2. Tentukan kuadran tempat sudut berada
3. Hitung sudut referensi
4. Gunakan nilai sudut referensi dengan tanda sesuai kuadran

Sudut di Kuadran II

Soal: Tentukan $\sin 120°$, $\cos 120°$, dan $\tan 120°$

Penyelesaian:

• Sudut 120° terletak di kuadran II (karena $90° < 120° < 180°$)
• Sudut referensi: $\alpha = 180° - 120° = 60°$
• Di kuadran II: $\sin(+), \cos(-), \tan(-)$

Menggunakan nilai sudut istimewa 60°:

Sudut di Kuadran III

Soal: Tentukan nilai trigonometri untuk sudut 240°

Penyelesaian:

• Sudut 240° terletak di kuadran III (karena $180° < 240° < 270°$)
• Sudut referensi: $\alpha = 240° - 180° = 60°$
• Di kuadran III: $\sin(-), \cos(-), \tan(+)$

Menggunakan nilai sudut istimewa 60°:

Sudut di Kuadran IV

Soal: Tentukan nilai trigonometri untuk sudut 300°

Penyelesaian:

• Sudut 300° terletak di kuadran IV (karena $270° < 300° < 360°$)

• Sudut referensi: $\alpha = 360° - 300° = 60°$

• Di kuadran IV: $\sin(-), \cos(+), \tan(-)$

Menggunakan nilai sudut istimewa 60°:

Menangani Sudut Khusus

Sudut Negatif

Ketika sudut negatif, kita bergerak searah jarum jam. Gunakan sifat:

• $\sin(-\theta) = -\sin \theta$ (fungsi ganjil)
• $\cos(-\theta) = \cos \theta$ (fungsi genap)
• $\tan(-\theta) = -\tan \theta$ (fungsi ganjil)

Contoh: $\sin(-30°) = -\sin 30° = -\frac{1}{2}$

Sudut Lebih dari 360°

Gunakan sifat periodisitas. Kurangi atau tambahkan kelipatan 360° sampai sudut berada di rentang 0° hingga 360°.

Contoh:

• $750° = 750° - 2(360°) = 750° - 720° = 30°$
• Maka $\sin 750° = \sin 30° = \frac{1}{2}$

Latihan

1. Tentukan nilai $\sin 315°$, $\cos 315°$, dan $\tan 315°$.

2. Hitunglah $\sin(-60°) + \cos 210° - \tan(-135°)$.

3. Jika $\sin \theta = \frac{3}{5}$ dan $\theta$ berada di kuadran II, tentukan $\cos \theta$ dan $\tan \theta$.

4. Sederhanakan $\sin 840° \cdot \cos(-330°)$.

5. Sebuah kincir angin berputar 1050° dari posisi awal. Jika posisi awal bilah berada di sumbu x positif, tentukan koordinat ujung bilah pada lingkaran satuan setelah putaran tersebut.

Kunci Jawaban

1. Untuk sudut 315°, kita perlu menentukan kuadrannya terlebih dahulu.

   Karena $270° < 315° < 360°$, sudut berada di kuadran IV.

   Sudut referensinya adalah $360° - 315° = 45°$.

   $$\sin 315° = -\sin 45° = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

   $$\cos 315° = +\cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

   $$\tan 315° = -\tan 45° = -1$$

2. Mari kita hitung setiap suku secara terpisah. Untuk $\sin(-60°)$, gunakan sifat fungsi ganjil.

   Untuk $\cos 210°$, sudut di kuadran III dengan referensi 30°.

   Untuk $\tan(-135°)$, ubah dulu ke sudut positif.

   $$\sin(-60°) = -\sin 60° = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

   $$\cos 210° = -\cos 30° = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

   $$\tan(-135°) = -\tan 135° = -(-\tan 45°) = 1$$

   $$\text{Hasil} = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 = -\sqrt{3} + 1$$

3. Diketahui $\sin \theta = \frac{3}{5}$ di kuadran II.

   Gunakan identitas Pythagoras untuk mencari $\cos \theta$.

   Ingat bahwa di kuadran II, $\cos$ bernilai negatif.

   $$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$

   $$\left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2 \theta = 1$$

   $$\cos^2 \theta = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$$

   $$\cos \theta = -\frac{4}{5} \text{ (negatif di kuadran II)}$$

   $$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac{3}{4}$$

4. Pertama sederhanakan sudut-sudutnya.

   $$840° = 840° - 2(360°) = 120°$$

   Untuk $-330°$, tambahkan 360° menjadi 30°.

   $$\sin 840° = \sin 120° = \sin(180° - 60°) = \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

   $$\cos(-330°) = \cos 330° = \cos(360° - 30°) = \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

   $$\sin 840° \cdot \cos(-330°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{4}$$

5. Sudut 1050° perlu disederhanakan terlebih dahulu.

   $$1050° = 1050° - 2(360°) = 1050° - 720° = 330°$$

   Sudut 330° berada di kuadran IV dengan sudut referensi 30°.

   $$x = \cos 330° = \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

   $$y = \sin 330° = -\sin 30° = -\frac{1}{2}$$

   $$\text{Koordinat ujung bilah: } \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}\right)$$