Kode sumberVideo

Command Palette

Search for a command to run...

Fungsi dan Pemodelannya

Identitas Trigonometri

Mengenal Identitas Trigonometri

Pernahkah kalian memperhatikan bahwa beberapa persamaan matematika selalu benar untuk setiap nilai variabelnya? Misalnya, (a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 selalu benar untuk sembarang nilai a dan b. Persamaan seperti ini disebut identitas.

Dalam trigonometri, kita juga memiliki persamaan-persamaan yang selalu benar untuk setiap nilai sudutnya. Inilah yang disebut identitas trigonometri. Identitas ini sangat berguna untuk menyederhanakan ekspresi trigonometri dan menyelesaikan persamaan.

Identitas Trigonometri Dasar

Identitas Pythagoras

Mari kita mulai dengan identitas paling fundamental. Perhatikan lingkaran satuan dengan titik P(x,y)P(x, y) yang membentuk sudut θ\theta dengan sumbu x positif.

Lingkaran Satuan dan Identitas Pythagoras
Perhatikan bagaimana koordinat titik P berubah saat sudut berubah. Koordinat ini adalah nilai cos θ dan sin θ.
0.79 Radian
0°360°

Pada lingkaran satuan:

  • Jari-jari = 1
  • Koordinat x = cos⁡θ\cos \theta
  • Koordinat y = sin⁡θ\sin \theta

Menggunakan teorema Pythagoras untuk titik P:

x2+y2=12x^2 + y^2 = 1^2

Substitusi nilai x dan y:

(cos⁡θ)2+(sin⁡θ)2=1(\cos \theta)^2 + (\sin \theta)^2 = 1

Atau dapat ditulis:

sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1

Inilah identitas Pythagoras, identitas paling mendasar dalam trigonometri.

Bentuk Lain Identitas Pythagoras:

Dari identitas dasar di atas, kita dapat menurunkan dua bentuk lain:

Bentuk kedua: Bagi kedua ruas dengan cos⁡2θ\cos^2 \theta (untuk cos⁡θ≠0\cos \theta \neq 0)

sin⁡2θcos⁡2θ+cos⁡2θcos⁡2θ=1cos⁡2θ\frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} + \frac{\cos^2 \theta}{\cos^2 \theta} = \frac{1}{\cos^2 \theta}
tan⁡2θ+1=sec⁡2θ\tan^2 \theta + 1 = \sec^2 \theta

Bentuk ketiga: Bagi kedua ruas dengan sin⁡2θ\sin^2 \theta (untuk sin⁡θ≠0\sin \theta \neq 0)

sin⁡2θsin⁡2θ+cos⁡2θsin⁡2θ=1sin⁡2θ\frac{\sin^2 \theta}{\sin^2 \theta} + \frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta} = \frac{1}{\sin^2 \theta}
1+cot⁡2θ=csc⁡2θ1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta

Identitas Kebalikan

Setiap fungsi trigonometri memiliki kebalikannya. Hubungan ini membentuk identitas kebalikan:

sin⁡θ=1csc⁡θ\sin \theta = \frac{1}{\csc \theta}
cos⁡θ=1sec⁡θ\cos \theta = \frac{1}{\sec \theta}
tan⁡θ=1cot⁡θ\tan \theta = \frac{1}{\cot \theta}

Atau dalam bentuk sebaliknya:

csc⁡θ=1sin⁡θ\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}
sec⁡θ=1cos⁡θ\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}
cot⁡θ=1tan⁡θ\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}

Identitas Hasil Bagi

Identitas hasil bagi menghubungkan tangen dan kotangen dengan sinus dan kosinus:

tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}
cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}
Visualisasi Fungsi Trigonometri
Amati bagaimana perbandingan sisi-sisi segitiga memberikan nilai sin, cos, dan tan. Perhatikan juga bagaimana nilai-nilai ini berubah saat sudut berubah.
Sin (30°) = 0.50Cos (30°) = 0.87Tan (30°) = 0.58
0.52 Radian
0°360°

Kedua identitas ini dapat dibuktikan langsung dari definisi fungsi trigonometri pada lingkaran satuan.

Identitas Fungsi Genap dan Ganjil

Ketika sudut bernilai negatif, fungsi trigonometri memiliki sifat khusus:

Fungsi genap (simetri terhadap sumbu y):

cos⁡(−θ)=cos⁡θ\cos(-\theta) = \cos \theta

Fungsi ganjil (simetri terhadap titik asal):

sin⁡(−θ)=−sin⁡θ\sin(-\theta) = -\sin \theta
tan⁡(−θ)=−tan⁡θ\tan(-\theta) = -\tan \theta
Eksplorasi Sifat Genap dan Ganjil
Coba geser sudut ke nilai negatif dan positif. Perhatikan bagaimana nilai cos, sin, dan tan berubah untuk sudut yang berlawanan.
1.05 Radian
0°360°

Menggunakan Identitas dalam Pembuktian

Mari kita lihat bagaimana identitas trigonometri digunakan untuk membuktikan persamaan lain.

Menyederhanakan Ekspresi

Sederhanakan sin⁡2θcos⁡θ+cos⁡θ\frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta} + \cos \theta

Penyelesaian:

sin⁡2θcos⁡θ+cos⁡θ=sin⁡2θcos⁡θ+cos⁡2θcos⁡θ\frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta} + \cos \theta = \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta} + \frac{\cos^2 \theta}{\cos \theta}
=sin⁡2θ+cos⁡2θcos⁡θ= \frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\cos \theta}
=1cos⁡θ(menggunakan identitas Pythagoras)= \frac{1}{\cos \theta} \quad \text{(menggunakan identitas Pythagoras)}
=sec⁡θ= \sec \theta

Membuktikan Identitas

Buktikan bahwa 1+tan⁡2θsec⁡θ=sec⁡θ\frac{1 + \tan^2 \theta}{\sec \theta} = \sec \theta

Penyelesaian:

Kita mulai dari ruas kiri:

1+tan⁡2θsec⁡θ=sec⁡2θsec⁡θ(menggunakan 1+tan⁡2θ=sec⁡2θ)\frac{1 + \tan^2 \theta}{\sec \theta} = \frac{\sec^2 \theta}{\sec \theta} \quad \text{(menggunakan } 1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta \text{)}
=sec⁡θ= \sec \theta

Terbukti bahwa ruas kiri sama dengan ruas kanan.

Menentukan Nilai Fungsi Trigonometri

Identitas trigonometri sangat berguna untuk menentukan nilai semua fungsi trigonometri jika diketahui salah satunya.

Aplikasi Identitas

Jika sin⁡θ=35\sin \theta = \frac{3}{5} dan 90°<θ<180°90° < \theta < 180° (kuadran II), tentukan nilai fungsi trigonometri lainnya.

Penyelesaian:

Gunakan identitas Pythagoras untuk mencari cos⁡θ\cos \theta:

sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1
(35)2+cos⁡2θ=1\left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2 \theta = 1
925+cos⁡2θ=1\frac{9}{25} + \cos^2 \theta = 1
cos⁡2θ=1−925=1625\cos^2 \theta = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}
cos⁡θ=±45\cos \theta = \pm \frac{4}{5}

Karena θ\theta di kuadran II, maka cos⁡θ<0\cos \theta < 0. Jadi, cos⁡θ=−45\cos \theta = -\frac{4}{5}

Selanjutnya, hitung fungsi trigonometri lainnya:

tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=3/5−4/5=−34\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac{3}{4}
csc⁡θ=1sin⁡θ=53\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta} = \frac{5}{3}
sec⁡θ=1cos⁡θ=−54\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} = -\frac{5}{4}
cot⁡θ=1tan⁡θ=−43\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = -\frac{4}{3}

Latihan

  1. Sederhanakan ekspresi tan⁡θ⋅cos⁡θsin⁡θ\frac{\tan \theta \cdot \cos \theta}{\sin \theta}

  2. Buktikan identitas sin⁡θ1+cos⁡θ=1−cos⁡θsin⁡θ\frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} = \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta}

  3. Jika cos⁡θ=513\cos \theta = \frac{5}{13} dan 270°<θ<360°270° < \theta < 360°, tentukan nilai semua fungsi trigonometri.

  4. Sederhanakan sin⁡4θ−cos⁡4θ\sin^4 \theta - \cos^4 \theta

  5. Jika tan⁡θ=43\tan \theta = \frac{4}{3} dan sin⁡θ<0\sin \theta < 0, tentukan nilai sin⁡θ\sin \theta dan cos⁡θ\cos \theta.

Kunci Jawaban

  1. Mari sederhanakan langkah demi langkah:

    tan⁡θ⋅cos⁡θsin⁡θ=sin⁡θcos⁡θ⋅cos⁡θsin⁡θ\frac{\tan \theta \cdot \cos \theta}{\sin \theta} = \frac{\frac{\sin \theta}{\cos \theta} \cdot \cos \theta}{\sin \theta}
    =sin⁡θsin⁡θ=1= \frac{\sin \theta}{\sin \theta} = 1

  2. Untuk membuktikan identitas, kita akan mengubah ruas kiri:

    sin⁡θ1+cos⁡θ=sin⁡θ1+cos⁡θ⋅1−cos⁡θ1−cos⁡θ\frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} \cdot \frac{1 - \cos \theta}{1 - \cos \theta}
    =sin⁡θ(1−cos⁡θ)(1+cos⁡θ)(1−cos⁡θ)= \frac{\sin \theta (1 - \cos \theta)}{(1 + \cos \theta)(1 - \cos \theta)}
    =sin⁡θ(1−cos⁡θ)1−cos⁡2θ= \frac{\sin \theta (1 - \cos \theta)}{1 - \cos^2 \theta}
    =sin⁡θ(1−cos⁡θ)sin⁡2θ= \frac{\sin \theta (1 - \cos \theta)}{\sin^2 \theta}
    =1−cos⁡θsin⁡θ= \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta}

  3. Diketahui cos⁡θ=513\cos \theta = \frac{5}{13} di kuadran IV.

    Mencari sin⁡θ\sin \theta:

    sin⁡2θ=1−cos⁡2θ=1−25169=144169\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}
    sin⁡θ=−1213 (negatif di kuadran IV)\sin \theta = -\frac{12}{13} \text{ (negatif di kuadran IV)}

    Fungsi trigonometri lainnya:

    tan⁡θ=−12/135/13=−125\tan \theta = \frac{-12/13}{5/13} = -\frac{12}{5}
    csc⁡θ=−1312\csc \theta = -\frac{13}{12}
    sec⁡θ=135\sec \theta = \frac{13}{5}
    cot⁡θ=−512\cot \theta = -\frac{5}{12}

  4. Gunakan pemfaktoran selisih kuadrat:

    sin⁡4θ−cos⁡4θ=(sin⁡2θ)2−(cos⁡2θ)2\sin^4 \theta - \cos^4 \theta = (\sin^2 \theta)^2 - (\cos^2 \theta)^2
    =(sin⁡2θ+cos⁡2θ)(sin⁡2θ−cos⁡2θ)= (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)(\sin^2 \theta - \cos^2 \theta)
    =1⋅(sin⁡2θ−cos⁡2θ)= 1 \cdot (\sin^2 \theta - \cos^2 \theta)
    =sin⁡2θ−cos⁡2θ= \sin^2 \theta - \cos^2 \theta

  5. Diketahui tan⁡θ=43\tan \theta = \frac{4}{3} dan sin⁡θ<0\sin \theta < 0.

    Karena tan⁡θ>0\tan \theta > 0 dan sin⁡θ<0\sin \theta < 0, maka cos⁡θ<0\cos \theta < 0 (kuadran III).

    Gunakan identitas 1+tan⁡2θ=sec⁡2θ1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta:

    1+169=sec⁡2θ1 + \frac{16}{9} = \sec^2 \theta
    sec⁡2θ=259\sec^2 \theta = \frac{25}{9}
    sec⁡θ=−53 (negatif di kuadran III)\sec \theta = -\frac{5}{3} \text{ (negatif di kuadran III)}
    cos⁡θ=−35\cos \theta = -\frac{3}{5}

    Untuk sin⁡θ\sin \theta:

    tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}
    43=sin⁡θ−3/5\frac{4}{3} = \frac{\sin \theta}{-3/5}
    sin⁡θ=43⋅(−35)=−45\sin \theta = \frac{4}{3} \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) = -\frac{4}{5}
Sebelumnya

Fungsi Trigonometri Sebarang Sudut

Selanjutnya

Grafik Fungsi Trigonometri