Matriks Transformasi Komposisi

Komposisi Transformasi dengan Menggunakan Matriks

Dalam geometri, transformasi adalah operasi yang memindahkan atau mengubah bentuk objek. Ketika beberapa transformasi diterapkan secara berurutan pada sebuah objek, ini disebut sebagai komposisi transformasi.

Kita dapat menggunakan matriks untuk merepresentasikan banyak transformasi geometri dan juga untuk mencari hasil dari komposisi transformasi tersebut.

Kita akan fokus pada transformasi-transformasi yang dapat direpresentasikan dengan matriks berordo $2 \times 2$. Sebagai contoh, pencerminan terhadap sumbu X dapat direpresentasikan oleh matriks $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$. Jika titik $(x,y)$ dicerminkan terhadap sumbu X, petanya dapat ditemukan dengan mengalikan matriks ini dengan vektor posisi titik: $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$.

Berikut adalah beberapa transformasi dasar beserta matriksnya yang sering digunakan dalam komposisi transformasi:

1. Pencerminan terhadap sumbu X: $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$
2. Pencerminan terhadap sumbu Y: $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
3. Pencerminan terhadap garis $y=x$: $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$
4. Pencerminan terhadap garis $y=-x$: $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$
5. Pencerminan terhadap titik pusat $O(0,0)$ (setara dengan rotasi $180^\circ$): $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$
6. Rotasi terhadap titik asal $(0,0)$ sebesar sudut $\theta$: $\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$
7. Dilatasi terhadap titik asal $(0,0)$ dengan faktor skala $k$: $\begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}$

Mengoperasikan Komposisi Transformasi dengan Menggunakan Matriks

Komposisi transformasi berarti melakukan beberapa transformasi secara berurutan. Jika transformasi $T_1$ diikuti oleh transformasi $T_2$, kita menotasikannya sebagai $T_2 \circ T_1$. Artinya, $T_1$ diterapkan terlebih dahulu, kemudian hasilnya ditransformasikan oleh $T_2$.

Misalkan matriks yang bersesuaian dengan $T_1$ adalah $M_1$, dan matriks yang bersesuaian dengan $T_2$ adalah $M_2$. Untuk mencari peta dari titik $P(x,y)$ oleh komposisi $T_2 \circ T_1$, ada dua cara yang ekuivalen:

1. Menerapkan Transformasi secara Berurutan pada Titik:

   • Hitung peta $P'(x',y')$ dari $P(x,y)$ oleh $T_1$: $\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = M_1 \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$.
   • Kemudian, hitung peta $P''(x'',y'')$ dari $P'(x',y')$ oleh $T_2$: $\begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} = M_2 \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$.

   Jika kita substitusikan langkah (a) ke (b), kita dapatkan: $\begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} = M_2 \left( M_1 \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \right)$.

2. Mencari Matriks Komposisi Terlebih Dahulu:

   • Tentukan matriks $M$ yang merepresentasikan komposisi transformasi $T_2 \circ T_1$. Matriks ini adalah hasil perkalian $M_2 M_1$.

     Perhatikan urutannya: matriks transformasi kedua ($M_2$) dikalikan dari kiri dengan matriks transformasi pertama ($M_1$).

   • Hitung peta $P''(x'',y'')$ dari $P(x,y)$ menggunakan matriks komposisi $M$: $\begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} = M \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = (M_2 M_1) \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$.

Kedua cara ini menghasilkan peta akhir yang sama karena sifat asosiatif perkalian matriks, yaitu $M_2 (M_1 P) = (M_2 M_1) P$, di mana $P$ adalah vektor kolom $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$.

Contoh Ilustratif:

Misalkan $T_1$ adalah pencerminan terhadap sumbu Y, dan $T_2$ adalah rotasi terhadap titik asal $O$ sebesar $\frac{1}{2}\pi$ radian ($90^\circ$). Kita ingin mencari peta titik $P(x,y)$ oleh $T_2 \circ T_1$.

Matriks untuk $T_1$ (pencerminan sumbu Y) adalah $M_1 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Matriks untuk $T_2$ (rotasi $90^\circ$) adalah $M_2 = \begin{pmatrix} \cos 90^\circ & -\sin 90^\circ \\ \sin 90^\circ & \cos 90^\circ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$.

Cara 1: Transformasi Berurutan pada Titik

• Peta $P(x,y)$ oleh $T_1$:

  $$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = M_1 \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -x \\ y \end{pmatrix}$$

  Jadi $P'(-x,y)$.

• Peta $P'(-x,y)$ oleh $T_2$:

  $$\begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} = M_2 \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (0)(-x)+(-1)(y) \\ (1)(-x)+(0)(y) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -y \\ -x \end{pmatrix}$$

• Peta akhirnya adalah $P''(-y,-x)$.

Cara 2: Matriks Komposisi Terlebih Dahulu

• Matriks komposisi $M = M_2 M_1$:

  $$M = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (0)(-1)+(-1)(0) & (0)(0)+(-1)(1) \\ (1)(-1)+(0)(0) & (1)(0)+(0)(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$

• Peta $P(x,y)$ oleh $M$:

  $$\begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} = M \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (0)(x)+(-1)(y) \\ (-1)(x)+(0)(y) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -y \\ -x \end{pmatrix}$$

• Peta akhirnya adalah $P''(-y,-x)$.

Kedua cara memberikan hasil yang sama. Menggunakan matriks komposisi ($M_2 M_1$) seringkali lebih efisien jika kita perlu mentransformasikan banyak titik dengan komposisi yang sama.

Aturan Matriks Komposisi

Misal, matriks yang berkaitan dengan transformasi $T_1$ dan $T_2$ berturut-turut adalah $M_1 = \begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix}$ dan $M_2 = \begin{pmatrix} t & u \\ v & w \end{pmatrix}$.

Maka, matriks yang terkait dengan komposisi transformasi $T_2 \circ T_1$ (Transformasi $T_1$ dilanjutkan dengan $T_2$) adalah $M_2 M_1 = \begin{pmatrix} t & u \\ v & w \end{pmatrix} \begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix}$.

Ingat bahwa urutan perkalian matriks penting. Matriks untuk transformasi yang dilakukan lebih dulu ($M_1$) ditulis di sebelah kanan.

Contoh Penerapan

Komposisi Dua Pencerminan

Tentukan peta dari titik $(2,5)$ yang dicerminkan terhadap sumbu X dan kemudian dicerminkan terhadap sumbu Y.

Alternatif Penyelesaian:

Misalkan $T_1$ adalah pencerminan terhadap sumbu X, dan $T_2$ adalah pencerminan terhadap sumbu Y.

Matriks $T_1$ ($M_1$) adalah $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$.

Matriks $T_2$ ($M_2$) adalah $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Komposisi transformasi $T_2 \circ T_1$ memiliki matriks $M = M_2 M_1$.

Peta dari titik $(2,5)$ adalah:

Jadi, peta titiknya adalah $(-2,-5)$.

Komposisi Refleksi dan Rotasi

Tentukan peta dari titik $(-2,3)$ yang ditransformasikan oleh komposisi dari refleksi sumbu Y yang dilanjutkan dengan rotasi $180^\circ$ terhadap titik asal.

Alternatif Penyelesaian:

Misalkan $T_1$ adalah refleksi sumbu Y, dan $T_2$ adalah rotasi $180^\circ$ terhadap titik asal.

Matriks $T_1$ ($M_1$) adalah $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Matriks $T_2$ ($M_2$) adalah $\begin{pmatrix} \cos 180^\circ & -\sin 180^\circ \\ \sin 180^\circ & \cos 180^\circ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$.

Komposisi transformasi $T_2 \circ T_1$ memiliki matriks $M = M_2 M_1$.

Peta dari titik $(-2,3)$ adalah:

Jadi, peta titiknya adalah $(-2,-3)$.

Komposisi Tiga Transformasi

Misalkan, kalian ingin melakukan tiga buah transformasi pada sebuah titik $P(2,5)$, yakni refleksi terhadap sumbu X, rotasi $90^\circ$ terhadap titik asal, dan setengah putar ($180^\circ$ rotasi terhadap titik asal). Tentukan petanya!

Alternatif Penyelesaian:

Misalkan:

• $T_1$: Refleksi terhadap sumbu X.

  Matriks $M_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

• $T_2$: Rotasi $90^\circ$ terhadap titik asal.

  Matriks $M_2 = \begin{pmatrix} \cos 90^\circ & -\sin 90^\circ \\ \sin 90^\circ & \cos 90^\circ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

• $T_3$: Setengah putar ($180^\circ$ rotasi terhadap titik asal).

  Matriks $M_3 = \begin{pmatrix} \cos 180^\circ & -\sin 180^\circ \\ \sin 180^\circ & \cos 180^\circ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

Komposisi transformasi adalah $T_3 \circ T_2 \circ T_1$. Matriksnya adalah $M = M_3 M_2 M_1$.

Peta dari $P(2,5)$ adalah:

Jadi, peta titiknya adalah $(-5,-2)$.

Latihan

Misalkan, kita ingin melakukan tiga buah transformasi pada sebuah titik $P(2,5)$, yakni refleksi terhadap sumbu Y, rotasi $180^\circ$ terhadap titik asal, dan pencerminan terhadap garis $y=x$. Tentukan petanya!

Kunci Jawaban

Misalkan:

• $T_1$: Refleksi terhadap sumbu Y.

  Matriks $M_1 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

• $T_2$: Rotasi $180^\circ$ terhadap titik asal.

  Matriks $M_2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$.

• $T_3$: Pencerminan terhadap garis $y=x$ .

  Matriks $M_3 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

Komposisi transformasi adalah $T_3 \circ T_2 \circ T_1$. Matriksnya adalah $M = M_3 M_2 M_1$.

Langkah 1: Hitung $M_2 M_1$.

Langkah 2: Hitung $M = M_3 (M_2 M_1)$.

Peta dari $P(2,5)$ adalah:

Jadi, peta titiknya adalah $(-5,2)$.