Matriks Dilatasi

Mencari Matriks yang Berkaitan dengan Dilatasi

Bagaimana menemukan matriks yang berkaitan dengan operasi dilatasi? Ingat kembali bahwa titik $(x,y)$ dipetakan oleh dilatasi dengan faktor $k \neq 0$ dan pusat $O$ ke $(kx,ky)$.

Misalkan, matriks yang ingin kita cari adalah $\begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix}$.

Carilah $r, s, t, u$ sedemikian rupa sehingga memenuhi

Dari perkalian matriks di sisi kiri, kita dapatkan:

Dengan menyamakan komponen yang bersesuaian:

• Baris pertama: $rx + sy = kx$. Agar persamaan ini berlaku untuk semua $x$ dan $y$, maka koefisien $x$ harus sama dan koefisien $y$ harus sama. Jadi, $r = k$ dan $s = 0$.
• Baris kedua: $tx + uy = ky$. Dengan cara yang sama, $t = 0$ dan $u = k$.

Matriks Dilatasi terhadap Titik Pusat

Matriks yang terkait dengan dilatasi dengan faktor $k \neq 0$ oleh titik pusat $O(0,0)$ adalah

Operasi Matriks terkait Dilatasi terhadap Sebarang Titik

Titik $(x,y)$ yang didilatasikan dengan faktor $k \neq 0$ dan pusat $(a,b)$ akan dipetakan ke $(k(x-a)+a,\, k(y-b)+b)$.

Temukan kombinasi operasi matriks terhadap vektor posisi $\begin{pmatrix} x-a \\ y-b \end{pmatrix}$ sehingga hasilnya menjadi $\begin{pmatrix} k(x-a)+a \\ k(y-b)+b \end{pmatrix}$.

Operasi matriks yang terkait dengan dilatasi dengan faktor $k \neq 0$ oleh titik $(a,b)$ adalah

atau dapat juga ditulis sebagai:

Mencari Peta dari Sebuah Dilatasi dengan Bantuan Matriks

Tentukan peta dari titik $A(2,4)$ yang ditransformasikan oleh dilatasi dengan faktor $2$ oleh titik pusat $P(1,1)$!

Alternatif Penyelesaian:

Diketahui $x=2, y=4, k=2, a=1, b=1$.

Jadi, peta dari titik $A(2,4)$ adalah $A'(3,7)$.

Latihan

1. Carilah koordinat peta dari titik $(a,b)$ oleh dilatasi $[O,3]$!
2. Tentukan matriks yang bersesuaian dengan dilatasi dengan faktor skala $-2$ dan pusat di $O(0,0)$.
3. Sebuah titik $B(-1, 5)$ didilatasikan dengan pusat $P(2, -3)$ dan faktor skala $k = \frac{1}{2}$. Tentukan koordinat bayangan titik $B$!
4. Sebuah segitiga $KLM$ dengan titik sudut $K(1,1)$, $L(5,1)$, dan $M(3,4)$ didilatasikan dengan pusat $O(0,0)$ dan faktor skala $2$. Gambarkan segitiga asli dan bayangannya, lalu tentukan koordinat titik-titik bayangannya!

Kunci Jawaban

1. Dilatasi $[O,3]$ berarti pusat dilatasi adalah $O(0,0)$ dan faktor skala $k=3$.

   Misalkan titiknya adalah $Q(a,b)$.

   Maka $x=a, y=b, k=3$.

   $$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3a \\ 3b \end{pmatrix}$$

   Jadi, koordinat peta dari titik $(a,b)$ adalah $(3a, 3b)$.

2. Faktor skala $k=-2$, pusat $O(0,0)$.

   Matriks dilatasinya adalah:

   $$\begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$$
   .

3. Titik $B(-1, 5)$, pusat $P(2, -3)$, faktor skala $k = \frac{1}{2}$.

   $x=-1, y=5, a=2, b=-3, k=\frac{1}{2}$.

   $$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1-2 \\ 5-(-3) \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$$

   $$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3 \\ 8 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$$

   $$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (\frac{1}{2})(-3) + (0)(8) \\ (0)(-3) + (\frac{1}{2})(8) \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$$

   $$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{3}{2} \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{3}{2} + \frac{4}{2} \\ 4 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ 1 \end{pmatrix}$$

   Koordinat bayangan titik $B$ adalah $B'(\frac{1}{2}, 1)$.

4. Segitiga $KLM$ dengan $K(1,1)$, $L(5,1)$, $M(3,4)$.

   Pusat $O(0,0)$, $k=2$.

   Bayangan titik $K(1,1)$:

   $$\begin{pmatrix} x_K' \\ y_K' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \implies K'(2,2)$$

   Bayangan titik $L(5,1)$:

   $$\begin{pmatrix} x_L' \\ y_L' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 2 \end{pmatrix} \implies L'(10,2)$$

   Bayangan titik $M(3,4)$:

   $$\begin{pmatrix} x_M' \\ y_M' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 8 \end{pmatrix} \implies M'(6,8)$$

   Visualisasi Dilatasi Segitiga $KLM$ dengan Pusat $O(0,0)$ dan Faktor Skala $k=2$

   Segitiga $KLM$ didilatasikan menjadi segitiga $K'L'M'$. Titik pusat dilatasi $O(0,0)$.

   Toggle GridToggle Play