Dilatasi

Memahami Dilatasi

Dilatasi adalah transformasi geometri yang mengubah ukuran suatu objek (memperbesar atau memperkecil) tanpa mengubah bentuknya. Setiap titik pada objek dipetakan ke posisi baru berdasarkan titik pusat dilatasi dan faktor skala.

Definisi Formal Dilatasi

Diketahui titik $C$ sebagai pusat dilatasi dan sebuah faktor skala $k \neq 0$. Dilatasi terhadap titik $A$ yang berpusat di titik $C$ dengan faktor $k$, dinotasikan sebagai $D_{(C,k)}$, adalah sebuah transformasi yang memetakan $A$ ke $A' = D_{(C,k)}(A)$ sedemikian rupa sehingga memenuhi $\vec{CA'} = k \cdot \vec{CA}$.

Ini berarti vektor dari pusat dilatasi ke bayangan adalah $k$ kali vektor dari pusat dilatasi ke titik asli.

• Jika $|k| > 1$, terjadi perbesaran.
• Jika $0 < |k| < 1$, terjadi pengecilan.
• Jika $k > 0$, titik asli dan bayangannya berada pada sisi yang sama dari pusat dilatasi.
• Jika $k < 0$, titik asli dan bayangannya berada pada sisi yang berlawanan dari pusat dilatasi (dan bayangan terbalik).

Dilatasi terhadap Titik Asal dengan Faktor Skala k

Jika pusat dilatasi adalah titik asal $O(0,0)$ dan faktor skalanya adalah $k$, maka untuk sebuah titik $A(x,y)$, bayangannya $A'(x',y')$ diberikan oleh:

Mendilatasikan Sebuah Titik terhadap Titik Asal

Jika titik $A(1,2)$ dilatasi terhadap titik asal $(0,0)$ dengan faktor $2$, tentukan peta dari titik tersebut.

Di sini, $x=1$, $y=2$, dan $k=2$.

Pusat dilatasi $O(0,0)$.

Jadi, petanya adalah $A'(2,4)$.

Dilatasi terhadap Titik Sembarang dengan Faktor Skala k

Jika pusat dilatasi adalah titik sembarang $C(a,b)$ dan faktor skalanya adalah $k$, maka untuk sebuah titik $A(x,y)$, bayangannya $A'(x',y')$ diberikan oleh:

Ini dapat diinterpretasikan sebagai: translasikan sistem sehingga $C$ menjadi titik asal, lakukan dilatasi dengan faktor $k$, lalu translasikan kembali.

Mendilatasikan Sebuah Titik terhadap Titik Sembarang

Jika titik $C(5,2)$ dilatasi terhadap titik $P(2,3)$ dengan faktor $2$, tentukan peta dari titik tersebut.

Di sini, titik yang akan didilatasi adalah $C(5,2)$ jadi $x=5, y=2$.

Pusat dilatasi adalah $P(2,3)$, jadi $a=2, b=3$.

Faktor skala $k=2$.

Jadi, petanya adalah $C'(8,1)$.

Latihan

1. Tentukan peta dari $B(2,5)$ oleh dilatasi $D_{(O,3)}$ (pusat di O(0,0), faktor 3).
2. Tentukan peta dari $B(2,5)$ oleh dilatasi dengan pusat $P(1,3)$ dan faktor 3.
3. Sebuah segitiga dengan titik sudut $A(1,1)$, $B(3,1)$, dan $C(1,4)$ didilatasi terhadap titik asal $O(0,0)$ dengan faktor skala $k=-2$. Tentukan koordinat bayangan segitiga $A'B'C'$!

Kunci Jawaban

1. Titik $B(2,5)$, pusat $O(0,0)$, $k=3$.

   $$x' = 3 \cdot 2 = 6$$

   $$y' = 3 \cdot 5 = 15$$

   Jadi, bayangannya $B'(6,15)$.

2. Titik $B(2,5)$, pusat $P(1,3)$, $k=3$. ($x=2, y=5, a=1, b=3$)

   $$x' = 1 + 3(2 - 1) = 1 + 3(1) = 1 + 3 = 4$$

   $$y' = 3 + 3(5 - 3) = 3 + 3(2) = 3 + 6 = 9$$

   Jadi, bayangannya $B'(4,9)$.

3. Pusat $O(0,0)$, $k=-2$.

   • Untuk $A(1,1)$: $A'(-2 \cdot 1, -2 \cdot 1) = A'(-2,-2)$.
   • Untuk $B(3,1)$: $B'(-2 \cdot 3, -2 \cdot 1) = B'(-6,-2)$.
   • Untuk $C(1,4)$: $C'(-2 \cdot 1, -2 \cdot 4) = C'(-2,-8)$.

   Koordinat bayangan segitiga: $A'(-2,-2)$, $B'(-6,-2)$, $C'(-2,-8)$.