Kaitan Matriks dengan Transformasi

Apa Hubungan Matriks dengan Transformasi Geometri?

Matriks $2 \times 2$ dapat dikaitkan dengan operasi transformasi terhadap sembarang titik pada bidang Kartesius.

Sebuah titik pada bidang Kartesius yang seringkali disimbolkan dengan pasangan terurut $(x,y)$ dapat juga disimbolkan dengan vektor posisi $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$. Notasi vektor posisi inilah yang akan banyak digunakan dalam pembahasan kaitan matriks dengan transformasi.

Jika titik $P(x,y)$ ditransformasikan oleh matriks $M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, maka bayangannya $P'(x',y')$ diperoleh dari perkalian matriks:

Sehingga, $x' = ax + by$ dan $y' = cx + dy$.

Mengalikan Sebuah Matriks dengan Sebuah Vektor Posisi

Jika $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ merepresentasikan sembarang titik di bidang Kartesius, carilah hasil kali $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$.

Alternatif Penyelesaian:

Hasil kali matriks tersebut adalah:

Jika diperhatikan, titik $(x,y)$ ditransformasikan oleh matriks $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ menjadi titik $(-y,x)$. Ini adalah rumus untuk rotasi $90^\circ$ berlawanan arah jarum jam terhadap titik asal.

Mengalikan Sebuah Matriks dengan Tiga Buah Titik Sekaligus

Carilah peta dari $\triangle ABC$, dengan titik sudut $A(1,1)$, $B(4,1)$, dan $C(4,2)$ yang ditransformasikan dengan matriks $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$.

Alternatif Penyelesaian:

Pertama-tama, kita dapat menuliskan koordinat titik-titik itu sebagai kolom-kolom matriks, yakni $\begin{pmatrix} 1 & 4 & 4 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ (Kolom A, B, C).

Selanjutnya, kalikan dari kiri matriks itu dengan $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$.

Hasil transformasinya adalah sebuah segitiga baru $\triangle A'B'C'$ dengan titik-titik sudut $A'(-1,-1)$, $B'(-4,-1)$, dan $C'(-4,-2)$.

Matriks $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ merepresentasikan rotasi $180^\circ$ terhadap titik asal.

Latihan

1. Carilah hasil kali dari $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$. Transformasi apakah yang direpresentasikan oleh matriks ini?
2. Suatu transformasi berkaitan dengan matriks $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Carilah peta dari suatu segitiga dengan titik sudut $A(2,0)$, $B(2,1)$, dan $C(0,1)$ oleh transformasi tersebut!

Kunci Jawaban

1. $$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (0)(x) + (1)(y) \\ (-1)(x) + (0)(y) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y \\ -x \end{pmatrix}$$

   Titik $(x,y)$ ditransformasikan menjadi $(y,-x)$.

   Ini adalah rotasi $-90^\circ$ (atau $270^\circ$) searah jarum jam terhadap titik asal.

2. Matriks transformasi $M = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

   Titik-titik sudut: $A(2,0)$, $B(2,1)$, $C(0,1)$.

   Matriks titik: $\begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$.

   $$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1)(2)+(2)(0) & (1)(2)+(2)(1) & (1)(0)+(2)(1) \\ (0)(2)+(1)(0) & (0)(2)+(1)(1) & (0)(0)+(1)(1) \end{pmatrix}$$

   $$= \begin{pmatrix} 2+0 & 2+2 & 0+2 \\ 0+0 & 0+1 & 0+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$

   Titik-titik bayangan: $A'(2,0)$, $B'(4,1)$, $C'(2,1)$.

   (Transformasi ini dikenal sebagai geseran/shear)