Rotasi

Memahami Rotasi

Rotasi, atau perputaran, adalah transformasi geometri yang memutar setiap titik suatu objek mengelilingi titik pusat tertentu sejauh sudut tertentu. Transformasi ini mempertahankan kongruensi (bentuk dan ukuran) objek, tetapi orientasinya dapat berubah.

Hal penting yang perlu diperhatikan dalam rotasi:

• Titik Pusat Rotasi (C): Titik tetap yang menjadi pusat perputaran.
• Sudut Rotasi ($\theta$): Besarnya perputaran. Jika sudut bernilai positif, rotasi dilakukan berlawanan arah jarum jam. Jika sudut bernilai negatif, rotasi dilakukan searah dengan jarum jam.

Definisi Rotasi

Diketahui titik pusat $C$ dan sudut berarah $\theta$. Rotasi dengan titik pusat $C$ sebesar $\theta$, dinotasikan dengan $\rho_{C,\theta}$ atau $R(C,\theta)$, didefinisikan sebagai transformasi yang memetakan:

1. Titik $C$ ke dirinya sendiri ($C'=C$).
2. Sembarang titik $P$ ke titik $P'$ sedemikian sehingga $CP = CP'$ (jarak dari pusat ke titik sama dengan jarak dari pusat ke bayangan) dan sudut yang terbentuk oleh sinar $\vec{CP}$ dan $\vec{CP'}$ adalah $\theta$.

Rotasi terhadap Titik Asal

Kasus khusus yang sering dibahas adalah rotasi terhadap titik asal $O(0,0)$.

Jika titik $P(x,y)$ dirotasikan terhadap titik asal $O(0,0)$ sebesar sudut $\theta$, maka koordinat bayangannya $P'(x',y')$ dapat dihitung menggunakan rumus berikut:

Merotasikan Sebuah Titik sebesar 90°

Sebuah titik $B(0,4)$ dirotasikan terhadap titik asal $(0,0)$ sebesar $90^\circ$. Tentukan titik bayangannya.

Di sini, $x=0$, $y=4$, dan $\theta = 90^\circ$.

Kita tahu $\cos 90^\circ = 0$ dan $\sin 90^\circ = 1$.

Menggunakan rumus:

Jadi, bayangan titik $B(0,4)$ adalah $B'(-4,0)$.

Merotasikan Sebuah Garis sebesar 90°

Tentukan peta dari garis $y=2x$ yang dirotasikan terhadap titik asal $(0,0)$ sebesar $90^\circ$.

Ambil sembarang titik $P(x,y)$ pada garis $y=2x$. Bayangannya, $P'(x',y')$, setelah rotasi $90^\circ$ terhadap titik asal adalah:

Dari sini kita peroleh $y = -x'$ dan $x = y'$.

Substitusikan $x = y'$ dan $y = -x'$ ke dalam persamaan garis asli $y=2x$:

Mengganti $x'$ dan $y'$ kembali ke $x$ dan $y$, persamaan garis bayangan adalah $-x = 2y$ atau $y = -\frac{1}{2}x$.

Latihan

1. Sebuah titik $A(3,0)$ dirotasikan terhadap titik asal $(0,0)$ sebesar $90^\circ$. Tentukan titik bayangannya.
2. Tentukan peta dari garis $y=4x$ yang dirotasikan terhadap titik asal $(0,0)$ sebesar $90^\circ$.
3. Titik $P(-2, -5)$ dirotasikan terhadap titik asal $O(0,0)$ sebesar $180^\circ$. Tentukan koordinat bayangannya!

Kunci Jawaban

1. Titik $A(3,0)$, $\theta = 90^\circ$. $x=3, y=0$.

   $$x' = 3 \cos 90^\circ - 0 \sin 90^\circ = 3(0) - 0(1) = 0$$

   $$y' = 3 \sin 90^\circ + 0 \cos 90^\circ = 3(1) + 0(0) = 3$$

   Jadi, bayangan titiknya adalah $A'(0,3)$.

2. Garis $y=4x$, $\theta = 90^\circ$.

   $$x' = -y$$

   $$y' = x$$

   Maka $y = -x'$ dan $x = y'$.

   Substitusi ke persamaan garis: $(-x') = 4(y')$.

   Persamaan garis bayangan: $-x = 4y$ atau $y = -\frac{1}{4}x$.

3. Titik $P(-2,-5)$, $\theta = 180^\circ$. $x=-2, y=-5$.

   $$\cos 180^\circ = -1$$

   $$\sin 180^\circ = 0$$
   $$x' = (-2) \cos 180^\circ - (-5) \sin 180^\circ = (-2)(-1) - (-5)(0) = 2 - 0 = 2$$

   $$y' = (-2) \sin 180^\circ + (-5) \cos 180^\circ = (-2)(0) + (-5)(-1) = 0 + 5 = 5$$

   Jadi, bayangan titik P adalah $P'(2,5)$.