Matriks Rotasi

Menemukan Matriks Rotasi terhadap Titik Asal

Peta dari titik $(x,y)$ yang dirotasikan terhadap titik asal $(0,0)$ sebesar $\theta$ adalah $(x \cos \theta - y \sin \theta, x \sin \theta + y \cos \theta)$.

Kita ingin menemukan matriks $2 \times 2$, misalkan $\begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix}$, yang merepresentasikan transformasi rotasi ini.

Matriks ini harus memenuhi:

Dari perkalian matriks di sisi kiri, kita mendapatkan:

Dengan menyamakan komponen-komponen yang bersesuaian:

• Baris pertama: $rx + sy = x \cos \theta - y \sin \theta$.

  Agar persamaan ini berlaku untuk semua $x$ dan $y$, maka koefisien $x$ harus sama dan koefisien $y$ harus sama. Jadi, $r = \cos \theta$ dan $s = -\sin \theta$.

• Baris kedua: $tx + uy = x \sin \theta + y \cos \theta$.

  Dengan cara yang sama, $t = \sin \theta$ dan $u = \cos \theta$.

Matriks Rotasi terhadap Titik Asal

Matriks yang terkait dengan rotasi sebesar $\theta$ radian terhadap titik pusat $O(0,0)$ adalah:

Operasi Matriks terkait Rotasi terhadap Titik Sebarang

Untuk merotasikan titik $(x,y)$ terhadap titik sebarang $P(a,b)$ sebesar sudut $\theta$, kita lakukan tiga langkah:

1. Translasikan titik $(x,y)$ sehingga $P(a,b)$ menjadi titik asal: $(x-a, y-b)$.
2. Rotasikan titik hasil translasi terhadap titik asal sebesar $\theta$ menggunakan matriks $R_\theta$.
3. Translasikan kembali titik hasil rotasi dengan menambahkan $(a,b)$.

Operasi Matriks Rotasi terhadap Titik Sebarang

Matriks yang terkait dengan rotasi sebesar $\theta$ radian terhadap titik $(a,b)$ adalah:

Mencari Matriks Rotasi Tertentu

Matriks yang terkait dengan rotasi sebesar $\theta = \frac{1}{4}\pi$ radian ($45^\circ$) terhadap titik pusat adalah:

Kita tahu $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ dan $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Ini adalah matriks yang dicari.

Latihan

1. Tentukan matriks-matriks yang berkaitan dengan rotasi terhadap titik pusat $O(0,0)$ sebesar $\frac{1}{6}\pi$ radian.
2. Tentukan peta dari titik $P(4,2)$ jika dirotasikan terhadap titik asal $O(0,0)$ sebesar $60^\circ$.
3. Tentukan peta dari titik $Q(3,1)$ jika dirotasikan terhadap titik $C(1,-2)$ sebesar $90^\circ$.

Kunci Jawaban

1. Diketahui $\theta = \frac{\pi}{6}$ atau $30^\circ$:

   $$\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

   $$\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$$

   Matriks rotasi:

   $$\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}$$

2. Titik $P(4,2)$, $\theta = 60^\circ$. $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$, $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

   $$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (4)(\frac{1}{2}) - (2)(\frac{\sqrt{3}}{2}) \\ (4)(\frac{\sqrt{3}}{2}) + (2)(\frac{1}{2}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - \sqrt{3} \\ 2\sqrt{3} + 1 \end{pmatrix}$$

   Peta: $P'(2-\sqrt{3}, 2\sqrt{3}+1)$.

3. Diketahui titik $Q(3,1)$, pusat $C(1,-2)$, $\theta = 90^\circ$. $(a,b)=(1,-2)$.

   $$\cos 90^\circ = 0$$

   $$\sin 90^\circ = 1$$

   $$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3-1 \\ 1-(-2) \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$$

   $$= \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \end{pmatrix}$$

   Peta: $Q'(-2,0)$.