Kode sumberVideo

Command Palette

Search for a command to run...

Transformasi Geometri

Matriks Pencerminan

Matriks Pencerminan terhadap Sumbu X

Ingat kembali bahwa pencerminan titik (x,y)(x,y) terhadap sumbu X menghasilkan bayangan (x,−y)(x,-y).

Kita mencari matriks (rstu)\begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix} sedemikian sehingga:

(rstu)(xy)=(x−y)\begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ -y \end{pmatrix}
(rx+sytx+uy)=(1x+0y0x−1y)\begin{pmatrix} rx + sy \\ tx + uy \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1x + 0y \\ 0x - 1y \end{pmatrix}

Dengan menyamakan koefisien, kita peroleh:

  • rx+sy=1x+0y  ⟹  r=1,s=0rx + sy = 1x + 0y \implies r=1, s=0
  • tx+uy=0x−1y  ⟹  t=0,u=−1tx + uy = 0x - 1y \implies t=0, u=-1

Jadi, matriks pencerminan terhadap sumbu X adalah (100−1)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}.

Matriks Pencerminan terhadap Sumbu Y

Pencerminan titik (x,y)(x,y) terhadap sumbu Y menghasilkan (−x,y)(-x,y).

(rstu)(xy)=(−xy)\begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -x \\ y \end{pmatrix}
(rx+sytx+uy)=(−1x+0y0x+1y)\begin{pmatrix} rx + sy \\ tx + uy \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1x + 0y \\ 0x + 1y \end{pmatrix}

Diperoleh r=−1,s=0,t=0,u=1r=-1, s=0, t=0, u=1.

Matriksnya adalah (−1001)\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

Matriks Pencerminan terhadap Garis y = x

Pencerminan titik (x,y)(x,y) terhadap garis y=xy=x menghasilkan (y,x)(y,x).

(rstu)(xy)=(yx)\begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix}
(rx+sytx+uy)=(0x+1y1x+0y)\begin{pmatrix} rx + sy \\ tx + uy \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0x + 1y \\ 1x + 0y \end{pmatrix}

Diperoleh r=0,s=1,t=1,u=0r=0, s=1, t=1, u=0.

Matriksnya adalah (0110)\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}.

Matriks Pencerminan terhadap Garis y = -x

Pencerminan titik (x,y)(x,y) terhadap garis y=−xy=-x menghasilkan (−y,−x)(-y,-x).

(rstu)(xy)=(−y−x)\begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -y \\ -x \end{pmatrix}
(rx+sytx+uy)=(0x−1y−1x+0y)\begin{pmatrix} rx + sy \\ tx + uy \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0x - 1y \\ -1x + 0y \end{pmatrix}

Diperoleh r=0,s=−1,t=−1,u=0r=0, s=-1, t=-1, u=0.

Matriksnya adalah (0−1−10)\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}.

Matriks-Matriks Pencerminan Dasar

  • Matriks pencerminan terhadap sumbu X: (100−1)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
  • Matriks pencerminan terhadap sumbu Y: (−1001)\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
  • Matriks pencerminan terhadap garis y=xy=x: (0110)\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
  • Matriks pencerminan terhadap garis y=−xy=-x: (0−1−10)\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}

Mencari Peta Titik dengan Matriks

Carilah peta dari (3,−4)(3,-4) yang dicerminkan terhadap sumbu X.

Alternatif Penyelesaian:

Menggunakan matriks pencerminan terhadap sumbu X:

(x′y′)=(100−1)(3−4)=((1)(3)+(0)(−4)(0)(3)+(−1)(−4))=(34)\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1)(3) + (0)(-4) \\ (0)(3) + (-1)(-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}

Jadi, petanya adalah (3,4)(3,4).

Mencari Peta Segitiga dengan Matriks

Tentukan peta dari segitiga ABC dengan A(3,1)A(3,1), B(−2,3)B(-2,3), dan C(2,−1)C(2,-1) yang dicerminkan terhadap sumbu Y!

Alternatif Penyelesaian:

Matriks pencerminan terhadap sumbu Y adalah (−1001)\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

Matriks titik-titik sudut segitiga ABC: (3−2213−1)\begin{pmatrix} 3 & -2 & 2 \\ 1 & 3 & -1 \end{pmatrix}.

(xA′xB′xC′yA′yB′yC′)=(−1001)(3−2213−1)\begin{pmatrix} x'_A & x'_B & x'_C \\ y'_A & y'_B & y'_C \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -2 & 2 \\ 1 & 3 & -1 \end{pmatrix}
=((−1)(3)+0(−1)(−2)+0(−1)(2)+00+(1)(1)0+(1)(3)0+(1)(−1))=(−32−213−1)= \begin{pmatrix} (-1)(3)+0 & (-1)(-2)+0 & (-1)(2)+0 \\ 0+(1)(1) & 0+(1)(3) & 0+(1)(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 2 & -2 \\ 1 & 3 & -1 \end{pmatrix}

Sehingga, petanya adalah segitiga A′B′C′A'B'C' dengan A′(−3,1)A'(-3,1), B′(2,3)B'(2,3), dan C′(−2,−1)C'(-2,-1).

Pencerminan △ABC\triangle ABC terhadap sumbu Y dengan Matriks
Segitiga ABCABC dicerminkan menjadi A′B′C′A'B'C' terhadap sumbu Y.

Latihan

  1. Carilah peta dari titik (3,5)(3,5) yang dicerminkan terhadap sumbu X dengan menggunakan perkalian matriks (100−1)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}.
  2. Tentukan peta dari segitiga ABC dengan A(3,1)A(3,1), B(−2,3)B(-2,3), dan C(2,−1)C(2,-1) yang dicerminkan terhadap garis y=−xy=-x!

Kunci Jawaban

  1. Peta dari titik (3,5)(3,5) yang dicerminkan terhadap sumbu X dengan menggunakan perkalian matriks (100−1)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} adalah:

    (x′y′)=(100−1)(35)=(3−5)\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -5 \end{pmatrix}

    Peta: (3,−5)(3,-5).

  2. Matriks pencerminan terhadap y=−xy=-x adalah (0−1−10)\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}.

    Matriks titik ABC: (3−2213−1)\begin{pmatrix} 3 & -2 & 2 \\ 1 & 3 & -1 \end{pmatrix}.

    (0−1−10)(3−2213−1)\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -2 & 2 \\ 1 & 3 & -1 \end{pmatrix}
    =((0)(3)+(−1)(1)(0)(−2)+(−1)(3)(0)(2)+(−1)(−1)(−1)(3)+(0)(1)(−1)(−2)+(0)(3)(−1)(2)+(0)(−1))= \begin{pmatrix} (0)(3)+(-1)(1) & (0)(-2)+(-1)(3) & (0)(2)+(-1)(-1) \\ (-1)(3)+(0)(1) & (-1)(-2)+(0)(3) & (-1)(2)+(0)(-1) \end{pmatrix}
    =(−1−31−32−2)= \begin{pmatrix} -1 & -3 & 1 \\ -3 & 2 & -2 \end{pmatrix}

    Peta: A′(−1,−3)A'(-1,-3), B′(−3,2)B'(-3,2), C′(1,−2)C'(1,-2).

Sebelumnya

Kaitan Matriks dengan Transformasi

Selanjutnya

Matriks Pencerminan terhadap Titik Pusat