Matriks Pencerminan

Matriks Pencerminan terhadap Sumbu Horizontal

Ingat kembali bahwa pencerminan titik $(x,y)$ terhadap sumbu $x$ menghasilkan bayangan $(x,-y)$.

Kita mencari matriks $\begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix}$ sedemikian sehingga:

Dengan menyamakan koefisien, kita peroleh:

• $rx + sy = 1x + 0y \implies r=1, s=0$
• $tx + uy = 0x - 1y \implies t=0, u=-1$

Jadi, matriks pencerminan terhadap sumbu $x$ adalah $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$.

Matriks Pencerminan terhadap Sumbu Vertikal

Pencerminan titik $(x,y)$ terhadap sumbu $y$ menghasilkan $(-x,y)$.

Diperoleh $r=-1, s=0, t=0, u=1$.

Matriksnya adalah $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Matriks Pencerminan terhadap Garis Diagonal Utama

Pencerminan titik $(x,y)$ terhadap garis $y=x$ menghasilkan $(y,x)$.

Diperoleh $r=0, s=1, t=1, u=0$.

Matriksnya adalah $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$.

Matriks Pencerminan terhadap Garis Diagonal Negatif

Pencerminan titik $(x,y)$ terhadap garis $y=-x$ menghasilkan $(-y,-x)$.

Diperoleh $r=0, s=-1, t=-1, u=0$.

Matriksnya adalah $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$.

Matriks-Matriks Pencerminan Dasar

• Matriks pencerminan terhadap sumbu $x$: $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$
• Matriks pencerminan terhadap sumbu $y$: $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
• Matriks pencerminan terhadap garis $y=x$: $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$
• Matriks pencerminan terhadap garis $y=-x$: $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$

Mencari Peta Titik dengan Matriks

Carilah peta dari $(3,-4)$ yang dicerminkan terhadap sumbu $x$.

Alternatif Penyelesaian:

Menggunakan matriks pencerminan terhadap sumbu $x$:

Jadi, petanya adalah $(3,4)$.

Mencari Peta Segitiga dengan Matriks

Tentukan peta dari segitiga $ABC$ dengan $A(3,1)$, $B(-2,3)$, dan $C(2,-1)$ yang dicerminkan terhadap sumbu $y$!

Alternatif Penyelesaian:

Matriks pencerminan terhadap sumbu $y$ adalah $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Matriks titik-titik sudut segitiga $ABC$: $\begin{pmatrix} 3 & -2 & 2 \\ 1 & 3 & -1 \end{pmatrix}$.

Sehingga, petanya adalah segitiga $A'B'C'$ dengan $A'(-3,1)$, $B'(2,3)$, dan $C'(-2,-1)$.

Latihan

1. Carilah peta dari titik $(3,5)$ yang dicerminkan terhadap sumbu $x$ dengan menggunakan perkalian matriks $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$.
2. Tentukan peta dari segitiga $ABC$ dengan $A(3,1)$, $B(-2,3)$, dan $C(2,-1)$ yang dicerminkan terhadap garis $y=-x$!

Kunci Jawaban

1. Peta dari titik $(3,5)$ yang dicerminkan terhadap sumbu $x$ dengan menggunakan perkalian matriks $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ adalah:

   $$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -5 \end{pmatrix}$$

   Peta: $(3,-5)$.

2. Matriks pencerminan terhadap $y=-x$ adalah $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$.

   Matriks titik $ABC$: $\begin{pmatrix} 3 & -2 & 2 \\ 1 & 3 & -1 \end{pmatrix}$.

   $$\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -2 & 2 \\ 1 & 3 & -1 \end{pmatrix}$$

   $$= \begin{pmatrix} (0)(3)+(-1)(1) & (0)(-2)+(-1)(3) & (0)(2)+(-1)(-1) \\ (-1)(3)+(0)(1) & (-1)(-2)+(0)(3) & (-1)(2)+(0)(-1) \end{pmatrix}$$

   $$= \begin{pmatrix} -1 & -3 & 1 \\ -3 & 2 & -2 \end{pmatrix}$$

   Peta: $A'(-1,-3)$, $B'(-3,2)$, $C'(1,-2)$.