Matriks Pencerminan terhadap Titik Pusat

Menemukan Matriks Pencerminan terhadap Titik Pusat

Pencerminan suatu titik $(x,y)$ terhadap titik pusat $O(0,0)$ (titik asal) akan menghasilkan bayangan $(-x,-y)$ . Ini sama dengan rotasi $180^\circ$ terhadap titik asal.

Sekarang, kita akan mencari matriks $2 \times 2$ , misalkan $\begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix}$ , yang merepresentasikan transformasi ini.

Kita ingin mencari $r, s, t, u$ sedemikian sehingga:

\begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -x \\ -y \end{pmatrix}

Dari perkalian matriks, kita dapat menulis:

\begin{pmatrix} rx + sy \\ tx + uy \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1x + 0y \\ 0x - 1y \end{pmatrix}

Dengan menyamakan koefisien-koefisien yang bersesuaian, kita peroleh:

Untuk baris pertama: $rx + sy = -1x + 0y$ . Ini berarti $r = -1$ dan $s = 0$ .
Untuk baris kedua: $tx + uy = 0x - 1y$ . Ini berarti $t = 0$ dan $u = -1$ .

Matriks yang terkait dengan pencerminan terhadap titik pusat $O(0,0)$ adalah:

\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

Aplikasi Matriks Pencerminan terhadap Titik Pusat

Mencari Peta Titik

Tentukan peta dari titik $A(-1,1)$ dan $B(3,-2)$ yang dicerminkan terhadap titik pusat!

Alternatif Penyelesaian:

Menggunakan matriks transformasi $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ :

Untuk titik $A(-1,1)$ :

\begin{pmatrix} x'_A \\ y'_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1)(-1) + (0)(1) \\ (0)(-1) + (-1)(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}

Peta titik A adalah $A'(1,-1)$ .

Untuk titik $B(3,-2)$ :

\begin{pmatrix} x'_B \\ y'_B \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1)(3) + (0)(-2) \\ (0)(3) + (-1)(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \end{pmatrix}

Peta titik B adalah $B'(-3,2)$ .

Pencerminan Titik

A

dan

B

terhadap Titik Pusat

Visualisasi pencerminan titik

A(-1,1)

menjadi

A'(1,-1)

dan

B(3,-2)

menjadi

B'(-3,2)

terhadap titik pusat

O(0,0)

Latihan

Tentukan peta dari titik $A(1,-7)$ dan $B(-7,-2)$ yang dicerminkan terhadap titik pusat!
Sebuah segitiga $PQR$ memiliki titik sudut $P(2,2)$ , $Q(5,2)$ , dan $R(3,5)$ . Tentukan koordinat bayangan segitiga $P'Q'R'$ setelah dicerminkan terhadap titik pusat menggunakan perkalian matriks.

Kunci Jawaban

Matriks pencerminan terhadap titik pusat: $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ .

Untuk $A(1,-7)$ :

$\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 7 \end{pmatrix}$

Peta $A'(-1,7)$ . Untuk $B(-7,-2)$ :

$\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -7 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \end{pmatrix}$

Peta $B'(7,2)$ .
Matriks titik PQR: $\begin{pmatrix} 2 & 5 & 3 \\ 2 & 2 & 5 \end{pmatrix}$ .

$\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 5 & 3 \\ 2 & 2 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & -5 & -3 \\ -2 & -2 & -5 \end{pmatrix}$

Peta: $P'(-2,-2)$ , $Q'(-5,-2)$ , $R'(-3,-5)$ .

Command Palette

Matriks Pencerminan terhadap Titik Pusat

Menemukan Matriks Pencerminan terhadap Titik Pusat