Matriks Pencerminan terhadap Sebarang Titik

Menemukan Matriks Pencerminan terhadap Sebarang Titik

Peta dari titik $(x,y)$ yang dicerminkan terhadap titik $(a,b)$ adalah $(-x+2a, -y+2b)$ atau $(2a-x, 2b-y)$.

Operasi matriks yang terkait dengan transformasi ini tidak dapat direpresentasikan hanya dengan satu matriks perkalian $2 \times 2$ saja, karena melibatkan penjumlahan (translasi) yang disebabkan oleh titik pusat $(a,b)$ yang bukan titik asal.

Namun, kita bisa merepresentasikan transformasi ini sebagai kombinasi operasi matriks:

1. Translasikan titik $(x,y)$ sehingga pusat pencerminan $(a,b)$ seolah-olah menjadi titik asal. Ini berarti kita bekerja dengan $(x-a, y-b)$.
2. Cerminkan titik yang sudah ditranslasikan ini terhadap titik asal menggunakan matriks $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$.
3. Translasikan kembali hasilnya dengan menambahkan koordinat pusat pencerminan $(a,b)$.

Secara matematis, jika $(x', y')$ adalah bayangan dari $(x,y)$:

Ini sesuai dengan rumus yang sudah kita kenal.

Operasi Matriks Pencerminan terhadap Titik

Operasi matriks yang terkait dengan pencerminan terhadap titik $P(a,b)$ untuk sembarang titik $(x,y)$ adalah:

Atau, lebih tepatnya, dapat ditulis sebagai kombinasi:

Bentuk yang disajikan pada Sifat 4.11 di buku ($\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$) adalah hasil penyederhanaan dari $\begin{pmatrix} -x+2a \\ -y+2b \end{pmatrix}$.

Mencari Peta Titik

Tentukan peta dari titik $(2,3)$ oleh pencerminan terhadap titik $(1,1)$.

Alternatif Penyelesaian:

Titik $(x,y) = (2,3)$. Pusat $(a,b) = (1,1)$.

Visualisasi:

Latihan

1. Tentukan peta dari titik $(3,1)$ oleh pencerminan terhadap titik $(-2,-1)$.
2. Sebuah garis melalui titik $A(1,2)$ dan $B(3,4)$. Tentukan persamaan bayangan garis tersebut setelah dicerminkan terhadap titik $C(0,1)$.

Kunci Jawaban

1. Titik $(x,y) = (3,1)$. Pusat $(a,b) = (-2,-1)$.

   Menggunakan rumus $x' = 2a-x$ dan $y' = 2b-y$:

   $$x' = 2(-2) - 3 = -4 - 3 = -7$$

   $$y' = 2(-1) - 1 = -2 - 1 = -3$$

   Petanya adalah $(-7,-3)$. Atau menggunakan operasi matriks:

   $$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 \\ -3 \end{pmatrix}$$

2. Pusat pencerminan $C(0,1)$. ($a=0, b=1$)

   Bayangan titik $A(1,2)$:

   $$x'_A = 2(0)-1 = -1$$

   $$y'_A = 2(1)-2 = 0$$

   Jadi $A'(-1,0)$.

   Bayangan titik $B(3,4)$:

   $$x'_B = 2(0)-3 = -3$$

   $$y'_B = 2(1)-4 = -2$$

   Jadi $B'(-3,-2)$.

   Garis bayangan melalui $A'(-1,0)$ dan $B'(-3,-2)$.

   Gradien $m' = \frac{-2 - 0}{-3 - (-1)} = \frac{-2}{-2} = 1$.

   Persamaan garis:

   $$y - y'_A = m'(x - x'_A)$$

   $$y - 0 = 1(x - (-1))$$

   $$y = x + 1$$

   atau

   $$x - y + 1 = 0$$