Pencerminan terhadap Titik

Memahami Pencerminan terhadap Titik

Pencerminan terhadap titik, sering juga disebut rotasi setengah putar ($180^\circ$), adalah transformasi geometri di mana setiap titik pada objek dipetakan ke posisi baru sedemikian rupa sehingga titik pusat pencerminan menjadi titik tengah antara titik asli dan bayangannya.

Misalkan titik pusat pencerminan adalah $P(a,b)$. Jika sebuah titik $Q(x,y)$ dicerminkan terhadap titik $P$, maka bayangannya $Q'(x',y')$ akan berada pada garis yang melalui $Q$ dan $P$, dengan $P$ sebagai titik tengah segmen $QQ'$.

Aturan Pencerminan terhadap Titik

Jika sebuah titik $Q(x, y)$ dicerminkan terhadap titik $P(a, b)$, maka koordinat bayangannya, $Q'(x', y')$, ditentukan oleh rumus:

Atau bisa juga ditulis:

Ini berarti koordinat x bayangan adalah dua kali koordinat x pusat dikurangi koordinat x asli, dan hal yang sama berlaku untuk koordinat y.

Mencerminkan Titik terhadap Titik Lain

Tentukan titik peta dari setengah putar $\sigma_{(2,3)}$ untuk titik $(5, 4)$.

Ini berarti kita mencerminkan titik $Q(5,4)$ terhadap titik pusat $P(2,3)$.

Di sini, $x=5$, $y=4$, $a=2$, dan $b=3$.

Menggunakan rumus:

Jadi, bayangan titik $(5,4)$ adalah $(-1,2)$.

Mencerminkan Garis terhadap Titik

Tentukan titik peta dari setengah putar $\sigma_{(1,3)}$ untuk garis $l$ dengan persamaan $2x - y + 3 = 0$.

Ambil sembarang titik $(x,y)$ pada garis $l$. Bayangannya, $(x',y')$, setelah dicerminkan terhadap titik $P(1,3)$ adalah:

Substitusikan $x = 2 - x'$ dan $y = 6 - y'$ ke dalam persamaan garis $l$:

Mengganti $x'$ dan $y'$ kembali ke $x$ dan $y$, persamaan garis bayangan $l'$ adalah:

Atau bisa ditulis sebagai $2x - y - 1 = 0$.

Latihan

1. Tentukan titik peta dari setengah putar $\sigma_{(-2,3)}$ untuk titik $(3, -4)$.
2. Titik $K(-5, 1)$ dicerminkan terhadap titik asal $O(0,0)$. Tentukan koordinat bayangannya!
3. Tentukan titik peta dari setengah putar $\sigma_{(1,-3)}$ untuk garis $l$ dengan persamaan $2x + 5y + 6 = 0$.

Kunci Jawaban

1. Pusat $P(-2,3)$, titik $Q(3,-4)$. Maka $a=-2, b=3, x=3, y=-4$.

   $$x' = 2a - x = 2(-2) - 3 = -4 - 3 = -7$$

   $$y' = 2b - y = 2(3) - (-4) = 6 + 4 = 10$$

   Jadi, bayangan titik $Q(3,-4)$ adalah $(-7,10)$.

2. Pusat $O(0,0)$, titik $K(-5,1)$. Maka $a=0, b=0, x=-5, y=1$.

   $$x' = 2(0) - (-5) = 0 + 5 = 5$$

   $$y' = 2(0) - 1 = 0 - 1 = -1$$

   Jadi, bayangan titik $K(-5,1)$ adalah $K'(5,-1)$.

3. Pusat $P(1,-3)$. Garis $2x + 5y + 6 = 0$.

   $$x' = 2(1) - x = 2 - x \implies x = 2 - x'$$

   $$y' = 2(-3) - y = -6 - y \implies y = -6 - y'$$

   Substitusi ke persamaan garis:

   $$2(2 - x') + 5(-6 - y') + 6 = 0$$

   $$4 - 2x' - 30 - 5y' + 6 = 0$$

   $$-2x' - 5y' - 20 = 0$$

   Persamaan garis bayangan: $-2x - 5y - 20 = 0$ atau $2x + 5y + 20 = 0$.