Translasi

Memahami Translasi

Translasi, juga dikenal sebagai pergeseran, adalah jenis transformasi geometri yang memindahkan setiap titik suatu objek sejauh jarak tertentu dalam arah tertentu. Transformasi ini tidak mengubah orientasi, ukuran, atau bentuk objek; hanya posisinya yang berubah.

Definisi Translasi

Diberikan sembarang titik $P(x,y)$. Translasi yang berkaitan dengan vektor $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ untuk titik $P(x,y)$, ditulis sebagai $T_{(a,b)}(x,y)$ atau $\tau_{(a,b)}(x,y)$, didefinisikan sebagai:

Ini berarti:

Di sini, $a$ adalah pergeseran horizontal (positif ke kanan, negatif ke kiri) dan $b$ adalah pergeseran vertikal (positif ke atas, negatif ke bawah).

Mentranslasikan sebuah Titik

Sebuah titik $(3,2)$ ditranslasikan dengan vektor $\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}$. Tentukan titik peta dari translasi tersebut.

Di sini, $x=3$, $y=2$, $a=-2$, dan $b=3$.

Menggunakan rumus:

Jadi, bayangan titik $(3,2)$ adalah $(1,5)$.

Mentranslasikan sebuah Garis

Tentukan peta dari garis $l \equiv 2x + 3y - 1 = 0$ ditranslasikan dengan vektor $\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$.

Misalkan $P(x,y)$ adalah sembarang titik pada garis $l$. Jika ditranslasikan oleh vektor $\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$, bayangannya adalah $P'(x',y')$ di mana:

Substitusikan nilai $x$ dan $y$ ini ke dalam persamaan garis $l$:

Mengganti $x'$ dan $y'$ kembali ke $x$ dan $y$, persamaan garis bayangan $l'$ adalah:

Latihan

1. Sebuah titik $(-4,4)$ ditranslasikan dengan vektor $\begin{pmatrix} -2 \\ -3 \end{pmatrix}$. Tentukan titik peta dari translasi tersebut.
2. Tentukan peta dari garis $l' \equiv 5x - 2y + 3 = 0$ ditranslasikan dengan vektor $\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$.
3. Sebuah segitiga dengan titik sudut $A(1,1)$, $B(4,1)$, dan $C(1,5)$ ditranslasikan oleh vektor $\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$. Tentukan koordinat bayangan segitiga $A'B'C'$!

Kunci Jawaban

1. Titik $(-4,4)$, vektor $\begin{pmatrix} -2 \\ -3 \end{pmatrix}$. $x=-4, y=4, a=-2, b=-3$.

   $$x' = -4 + (-2) = -6$$

   $$y' = 4 + (-3) = 1$$

   Jadi, bayangan titiknya adalah $(-6,1)$.

2. Garis $5x - 2y + 3 = 0$, vektor $\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$. $a=2, b=-1$.

   $$x' = x + 2 \implies x = x' - 2$$

   $$y' = y - 1 \implies y = y' + 1$$

   Substitusi ke persamaan garis:

   $$5(x' - 2) - 2(y' + 1) + 3 = 0$$

   $$5x' - 10 - 2y' - 2 + 3 = 0$$

   $$5x' - 2y' - 9 = 0$$

   Persamaan garis bayangan: $5x - 2y - 9 = 0$.

3. Titik $A(1,1)$, $B(4,1)$, $C(1,5)$. Vektor $\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$.

   $$A'(1+2, 1+3) = A'(3,4)$$

   $$B'(4+2, 1+3) = B'(6,4)$$

   $$C'(1+2, 5+3) = C'(3,8)$$

   Koordinat bayangan segitiga adalah $A'(3,4)$, $B'(6,4)$, dan $C'(3,8)$.