Metode Sarrus

Konsep Dasar Metode Sarrus

Metode Sarrus adalah cara praktis untuk menghitung determinan matriks berordo 3x3. Metode ini dinamai dari Pierre Frédéric Sarrus. Untuk memahaminya, mari kita ingat kembali cara menghitung determinan matriks 2x2.

Jika kita memiliki matriks 2x2:

M = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

Determinannya, $\det(M)$ atau $|M|$ , dihitung sebagai berikut:

\det(M) = ad - bc

Ini adalah selisih antara perkalian elemen diagonal utama ( $ad$ ) dan perkalian elemen diagonal sekunder ( $bc$ ). Metode Sarrus mengadaptasi prinsip ini untuk matriks 3x3.

Langkah Menghitung Determinan Matriks 3x3 dengan Metode Sarrus

Misalkan kita memiliki matriks A berordo 3x3:

A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}

Elemen $a_{ij}$ adalah elemen pada baris ke- $i$ dan kolom ke- $j$ .

Langkah 1: Salin Dua Kolom Pertama

Tuliskan kembali dua kolom pertama matriks A di sebelah kanan kolom ketiga:

\begin{array}{|ccc|cc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{31} & a_{32} \end{array}

Ini membantu kita memvisualisasikan diagonal-diagonal yang akan dikalikan.

Langkah 2: Hitung Jumlah Hasil Perkalian Diagonal Positif

Kalikan elemen-elemen di sepanjang tiga diagonal dari kiri atas ke kanan bawah. Jumlahkan hasil perkalian ini, kita sebut $D_{\text{positif}}$ .

D_{\text{positif}} = (a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33}) + (a_{12} \cdot a_{23} \cdot a_{31}) + (a_{13} \cdot a_{21} \cdot a_{32})

Suku pertama adalah perkalian diagonal utama. Suku kedua dan ketiga adalah perkalian diagonal sejajar yang melibatkan elemen dari kolom yang disalin.

Langkah 3: Hitung Jumlah Hasil Perkalian Diagonal Negatif

Kalikan elemen-elemen di sepanjang tiga diagonal dari kanan atas ke kiri bawah. Jumlahkan hasil perkalian ini, kita sebut $D_{\text{negatif}}$ .

D_{\text{negatif}} = (a_{13} \cdot a_{22} \cdot a_{31}) + (a_{11} \cdot a_{23} \cdot a_{32}) + (a_{12} \cdot a_{21} \cdot a_{33})

Suku pertama adalah perkalian diagonal sekunder (anti-diagonal). Suku kedua dan ketiga adalah perkalian diagonal sejajar yang melibatkan elemen dari kolom yang disalin, bergerak ke arah kiri bawah.

Langkah 4: Hitung Determinan Akhir

Determinan matriks A, $\det(A)$ , adalah selisih antara $D_{\text{positif}}$ dan $D_{\text{negatif}}$ :

\det(A) = D_{\text{positif}} - D_{\text{negatif}}

Substitusikan nilai $D_{\text{positif}}$ dan $D_{\text{negatif}}$ :

\det(A) = (a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32}) - (a_{13}a_{22}a_{31} + a_{11}a_{23}a_{32} + a_{12}a_{21}a_{33})

Atau, setelah tanda negatif didistribusikan:

\det(A) = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}

Visualisasi Metode Sarrus

Untuk memvisualisasikan proses ini, kita bisa menuliskan:

\det(A) = \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right|

Kemudian, dengan Metode Sarrus, kita perluas matriks dan identifikasi jalur perkalian:

\begin{array}{ccc|cc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{31} & a_{32} \end{array}

\begin{array}{l} \text{Jalur Positif } (\searrow): \\ \quad + (a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33}) \\ \quad + (a_{12} \cdot a_{23} \cdot a_{31}) \\ \quad + (a_{13} \cdot a_{21} \cdot a_{32}) \end{array}

\begin{array}{l} \text{Jalur Negatif } (\swarrow): \\ \quad - (a_{13} \cdot a_{22} \cdot a_{31}) \\ \quad - (a_{11} \cdot a_{23} \cdot a_{32}) \quad (\text{dari } a_{11} \text{ kol. 4}) \\ \quad - (a_{12} \cdot a_{21} \cdot a_{33}) \quad (\text{dari } a_{12} \text{ kol. 5}) \end{array}

Sehingga, formula lengkapnya menjadi:

\det(A) = (a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32}) - (a_{13}a_{22}a_{31} + a_{11}a_{23}a_{32} + a_{12}a_{21}a_{33})

Batasan Penting Metode Sarrus

Metode Sarrus hanya berlaku untuk matriks berordo 2x2 dan 3x3. Untuk matriks dengan ordo lebih tinggi (misalnya 4x4), metode ini tidak dapat digunakan. Metode lain seperti ekspansi kofaktor atau reduksi baris diperlukan untuk kasus tersebut.

Command Palette

Konsep Dasar Metode Sarrus

Langkah Menghitung Determinan Matriks 3x3 dengan Metode Sarrus

Visualisasi Metode Sarrus

Batasan Penting Metode Sarrus