Metode Sarrus: Matriks - Matematika (Kelas 11)

Konsep Dasar Metode Sarrus

Metode Sarrus adalah cara praktis untuk menghitung determinan matriks berordo $3 \times 3$ . Metode ini dinamai dari Pierre Frédéric Sarrus. Untuk memahaminya, mari kita ingat kembali cara menghitung determinan matriks $2 \times 2$ .

Jika kita memiliki matriks $2 \times 2$ :

M = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

Determinannya, $\det(M)$ atau $|M|$ , dihitung sebagai berikut:

\det(M) = ad - bc

Ini adalah selisih antara perkalian elemen diagonal utama ( $ad$ ) dan perkalian elemen diagonal sekunder ( $bc$ ). Metode Sarrus mengadaptasi prinsip ini untuk matriks $3 \times 3$ .

Langkah Menghitung Determinan Matriks Ordo Tiga dengan Metode Sarrus

Misalkan kita memiliki matriks $A$ berordo $3 \times 3$ :

A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}

Elemen $a_{ij}$ adalah elemen pada baris ke- $i$ dan kolom ke- $j$ .

Langkah 1: Salin Dua Kolom Pertama

Tuliskan kembali dua kolom pertama matriks $A$ di sebelah kanan kolom ketiga:

\begin{array}{|ccc|cc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{31} & a_{32} \end{array}

Ini membantu kita memvisualisasikan diagonal-diagonal yang akan dikalikan.

Langkah 2: Hitung Jumlah Hasil Perkalian Diagonal Positif

Kalikan elemen-elemen di sepanjang tiga diagonal dari kiri atas ke kanan bawah. Jumlahkan hasil perkalian ini, kita sebut $D_{\text{positif}}$ .

D_{\text{positif}} = (a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33}) + (a_{12} \cdot a_{23} \cdot a_{31}) + (a_{13} \cdot a_{21} \cdot a_{32})

Suku pertama adalah perkalian diagonal utama. Suku kedua dan ketiga adalah perkalian diagonal sejajar yang melibatkan elemen dari kolom yang disalin.

Langkah 3: Hitung Jumlah Hasil Perkalian Diagonal Negatif

Kalikan elemen-elemen di sepanjang tiga diagonal dari kanan atas ke kiri bawah. Jumlahkan hasil perkalian ini, kita sebut $D_{\text{negatif}}$ .

D_{\text{negatif}} = (a_{13} \cdot a_{22} \cdot a_{31}) + (a_{11} \cdot a_{23} \cdot a_{32}) + (a_{12} \cdot a_{21} \cdot a_{33})

Suku pertama adalah perkalian diagonal sekunder (anti-diagonal). Suku kedua dan ketiga adalah perkalian diagonal sejajar yang melibatkan elemen dari kolom yang disalin, bergerak ke arah kiri bawah.

Langkah 4: Hitung Determinan Akhir

Determinan matriks $A$ , $\det(A)$ , adalah selisih antara $D_{\text{positif}}$ dan $D_{\text{negatif}}$ :

\det(A) = D_{\text{positif}} - D_{\text{negatif}}

Substitusikan nilai $D_{\text{positif}}$ dan $D_{\text{negatif}}$ :

\det(A) = (a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32}) - (a_{13}a_{22}a_{31} + a_{11}a_{23}a_{32} + a_{12}a_{21}a_{33})

Atau, setelah tanda negatif didistribusikan:

\det(A) = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}

Visualisasi Metode Sarrus

Untuk memvisualisasikan proses ini, kita bisa menuliskan:

\det(A) = \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right|

Kemudian, dengan Metode Sarrus, kita perluas matriks dan identifikasi jalur perkalian:

\begin{array}{ccc|cc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{31} & a_{32} \end{array}

Sehingga, formula lengkapnya menjadi:

\det(A) = (a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32}) - (a_{13}a_{22}a_{31} + a_{11}a_{23}a_{32} + a_{12}a_{21}a_{33})

Batasan Penting Metode Sarrus

Metode Sarrus hanya berlaku untuk matriks berordo $2 \times 2$ dan $3 \times 3$ . Untuk matriks dengan ordo lebih tinggi (misalnya $4 \times 4$ ), metode ini tidak dapat digunakan. Metode lain seperti ekspansi kofaktor atau reduksi baris diperlukan untuk kasus tersebut.