Penjumlahan Matriks

Apa Itu Penjumlahan Matriks?

Penjumlahan matriks adalah operasi dasar dalam aljabar matriks di mana dua matriks atau lebih digabungkan untuk menghasilkan matriks baru. Operasi ini hanya dapat dilakukan jika matriks-matriks yang dijumlahkan memiliki ukuran atau ordo yang sama.

Hasil penjumlahannya adalah matriks baru dengan ordo yang sama, di mana setiap elemennya merupakan hasil penjumlahan elemen-elemen yang bersesuaian (seletak) dari matriks-matriks awal.

Definisi Formal Penjumlahan Matriks

Dua matriks, katakanlah matriks $A$ dan matriks $B$, dapat dijumlahkan jika dan hanya jika kedua matriks tersebut memiliki ordo yang sama.

Misalkan matriks $A$ berordo $m \times n$ dengan elemen-elemen $a_{ij}$ (elemen pada baris ke-$i$ dan kolom ke-$j$), dan matriks $B$ juga berordo $m \times n$ dengan elemen-elemen $b_{ij}$.

Maka, hasil penjumlahan matriks $A$ dan $B$, yang kita sebut matriks $C$, ditulis sebagai $C = A + B$. Matriks $C$ juga akan berordo $m \times n$, dengan elemen-elemen $c_{ij}$ yang didefinisikan sebagai:

Ini berarti setiap elemen pada matriks hasil penjumlahan diperoleh dengan menjumlahkan elemen-elemen yang posisinya sama dari kedua matriks yang dijumlahkan.

Cara Melakukan Penjumlahan Matriks

Untuk menjumlahkan dua matriks, ikuti langkah-langkah berikut:

1. Pastikan Ordo Sama: Periksa apakah kedua matriks memiliki jumlah baris dan kolom yang sama. Jika tidak, penjumlahan tidak dapat dilakukan.
2. Jumlahkan Elemen Seletak: Jumlahkan elemen-elemen yang berada pada posisi baris dan kolom yang sama dari kedua matriks.
3. Bentuk Matriks Hasil: Susun hasil penjumlahan elemen-elemen tersebut ke dalam matriks baru dengan ordo yang sama.

Contoh Penjumlahan Matriks

Misalkan kita memiliki dua matriks, $P$ dan $Q$, sebagai berikut:

Kedua matriks ini berordo $3 \times 2$ (3 baris dan 2 kolom), sehingga dapat dijumlahkan.

Maka, $P+Q$ adalah:

Jadi, hasil penjumlahan matriks $P$ dan $Q$ adalah matriks $\begin{bmatrix} 7 & 2 \\ 6 & 1 \\ 2 & 16 \end{bmatrix}$.

Matriks yang Tidak Dapat Dijumlahkan

Misalkan matriks $X = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ dan matriks $Y = \begin{bmatrix} 5 & 6 & 7 \\ 8 & 9 & 10 \end{bmatrix}$.

Matriks $X$ berordo $2 \times 2$, sedangkan matriks $Y$ berordo $2 \times 3$. Karena ordonya berbeda, matriks $X$ dan $Y$ tidak dapat dijumlahkan.

Sifat-Sifat Penjumlahan Matriks

Penjumlahan matriks memiliki beberapa sifat penting, mirip dengan sifat penjumlahan pada bilangan real. Misalkan $A$, $B$, dan $C$ adalah matriks-matriks yang berordo sama, dan $O$ adalah matriks nol (matriks yang semua elemennya nol) yang berordo sama dengan $A$, $B$, dan $C$.

1. Sifat Komutatif: Urutan penjumlahan matriks tidak mempengaruhi hasilnya.

   $$A + B = B + A$$

   Artinya, menjumlahkan matriks $A$ dengan $B$ akan menghasilkan matriks yang sama dengan menjumlahkan matriks $B$ dengan $A$.

2. Sifat Asosiatif: Pengelompokan dalam penjumlahan tiga matriks atau lebih tidak mempengaruhi hasilnya.

   $$(A + B) + C = A + (B + C)$$

   Artinya, Anda bisa menjumlahkan $A$ dan $B$ terlebih dahulu, kemudian hasilnya dijumlahkan dengan $C$, atau menjumlahkan $B$ dan $C$ terlebih dahulu, kemudian $A$ dijumlahkan dengan hasilnya. Hasil akhirnya akan sama.

3. Memiliki Elemen Identitas (Matriks Nol): Terdapat matriks nol $O$ yang bersifat sebagai elemen identitas dalam penjumlahan.

   $$A + O = O + A = A$$

   Artinya, jika suatu matriks dijumlahkan dengan matriks nol (yang seordo), hasilnya adalah matriks itu sendiri.

   Matriks nol ini berperan seperti angka 0 dalam penjumlahan bilangan.

4. Memiliki Invers Aditif (Lawan Suatu Matriks): Setiap matriks $A$ memiliki invers aditif, yaitu matriks $-A$, yang jika dijumlahkan dengan $A$ akan menghasilkan matriks nol $O$.

   $$A + (-A) = O$$

   Matriks $-A$ adalah matriks yang setiap elemennya merupakan lawan (negatif) dari elemen-elemen matriks $A$ yang seletak.

   Misalnya, jika $a_{ij}$ adalah elemen dari $A$ , maka $-a_{ij}$ adalah elemen dari $-A$.

Latihan

Soal 1

Diketahui matriks-matriks berikut:

Hitunglah $A+B$ dan $B+A$. Kemudian, tentukan apakah $A+C$ dapat dihitung dan berikan penjelasanmu.

Soal 2

Tentukan nilai $x, y,$ dan $z$ dari penjumlahan matriks berikut:

Soal 3

Jika $P = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 0 \end{bmatrix}$, tentukan matriks $-P$ (invers aditif dari $P$) dan buktikan bahwa $P + (-P) = O$, di mana $O$ adalah matriks nol yang seordo.

Kunci Jawaban

Soal 1

Diketahui matriks-matriks:

Penjumlahan matriks $A$ dan $B$ ($A+B$):

Penjumlahan matriks $B$ dan $A$ ($B+A$):

(Terbukti sifat komutatif: $A+B = B+A$)

Penjumlahan matriks $A$ dan $C$ ($A+C$):

Tidak dapat dihitung. Matriks $A$ berordo $2 \times 3$, sedangkan matriks $C$ berordo $2 \times 2$. Karena ordonya berbeda, penjumlahan $A+C$ tidak dapat dilakukan.

Soal 2

Diketahui penjumlahan matriks:

Lakukan penjumlahan matriks di ruas kiri:

Berdasarkan kesamaan dua matriks, elemen-elemen yang seletak harus sama:

Untuk elemen baris 1, kolom 1: $2x+4 = 10$

Untuk elemen baris 1, kolom 2: $3 = 3$ (sudah sesuai).

Untuk elemen baris 2, kolom 1: $-1+z = 6$

Untuk elemen baris 2, kolom 2: $3y+7 = 1$

Jadi, nilai $x=3$, $y=-2$, dan $z=7$.

Soal 3

Diberikan matriks $P = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 0 \end{bmatrix}$.

Invers aditif dari $P$, yaitu $-P$, adalah:

Pembuktian bahwa $P + (-P) = O$:

Hasilnya adalah matriks nol $O$ berordo $2 \times 2$. Terbukti.