Pengurangan Matriks

Apa Itu Pengurangan Matriks?

Pengurangan matriks adalah operasi untuk menemukan selisih antara dua matriks. Sama seperti penjumlahan matriks, operasi pengurangan hanya dapat dilakukan jika kedua matriks yang terlibat memiliki ukuran atau ordo yang sama.

Hasil dari pengurangan matriks adalah sebuah matriks baru yang juga memiliki ordo yang sama, di mana setiap elemennya merupakan hasil pengurangan elemen-elemen yang bersesuaian dari kedua matriks awal.

Definisi Formal Pengurangan Matriks

Ada dua cara umum untuk mendefinisikan pengurangan matriks, yang keduanya mengarah pada hasil yang sama.

Pengurangan sebagai Penjumlahan dengan Lawan

Pengurangan matriks $A$ dengan matriks $B$ dapat didefinisikan sebagai penjumlahan matriks $A$ dengan matriks lawan dari $B$ (yaitu, $-B$).

Matriks $-B$ adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen matriks $B$ dengan $-1$. Jadi, jika $B = [b_{ij}]$, maka $-B = [-b_{ij}]$.

Pengurangan Elemen Seletak

Jika matriks $A = [a_{ij}]$ dan matriks $B = [b_{ij}]$ keduanya memiliki ordo $m \times n$, maka hasil pengurangan matriks $C = A - B$ juga akan berordo $m \times n$.

Setiap elemen $c_{ij}$ dari matriks $C$ dihitung dengan mengurangkan elemen matriks $B$ yang seletak dari elemen matriks $A$ yang seletak:

Ini berarti kita mengurangkan elemen-elemen yang berada pada posisi baris dan kolom yang sama.

Kedua definisi ini ekuivalen dan akan menghasilkan matriks selisih yang sama.

Cara Melakukan Pengurangan Matriks

Untuk mengurangkan dua matriks, ikuti langkah-langkah berikut:

1. Pastikan Ordo Sama: Langkah pertama dan paling penting adalah memeriksa apakah kedua matriks memiliki jumlah baris dan kolom yang sama. Jika ordonya berbeda, pengurangan tidak dapat dilakukan.
2. Kurangkan Elemen Seletak: Jika ordonya sama, kurangkan setiap elemen matriks kedua (pengurang) dari elemen matriks pertama yang posisinya bersesuaian (seletak).
3. Bentuk Matriks Hasil: Susun hasil pengurangan elemen-elemen tersebut ke dalam sebuah matriks baru. Matriks baru ini akan memiliki ordo yang sama dengan matriks-matriks awal.

Contoh Pengurangan Matriks

Misalkan kita memiliki dua matriks, $P$ dan $Q$, sebagai berikut:

Kedua matriks ini berordo $2 \times 2$, sehingga dapat dikurangkan.

Menggunakan metode pengurangan elemen seletak:

Menggunakan metode penjumlahan dengan lawan ($P + (-Q)$):

Pertama, tentukan $-Q$:

Kemudian, jumlahkan $P$ dengan $-Q$:

Kedua metode menghasilkan matriks yang sama.

Contoh Matriks yang Tidak Dapat Dikurangkan

Misalkan matriks $K = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 5 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}$ dan matriks $L = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 0 & 7 \end{bmatrix}$.

Matriks $K$ berordo $3 \times 2$, sedangkan matriks $L$ berordo $2 \times 2$. Karena ordo kedua matriks ini berbeda, maka pengurangan $K-L$ (atau $L-K$) tidak dapat dilakukan atau tidak terdefinisi.

Sifat-Sifat Pengurangan Matriks

Berbeda dengan penjumlahan matriks yang memiliki beberapa sifat penting seperti komutatif dan asosiatif, pengurangan matriks umumnya tidak memiliki sifat-sifat tersebut.

1. Tidak Komutatif: Secara umum, urutan pengurangan matriks sangat berpengaruh. Artinya, $A - B$ tidak sama dengan $B - A$, kecuali dalam kasus-kasus khusus (misalnya jika $A=B$).

   $$A - B \neq B - A \quad (\text{secara umum})$$

   Sebagai contoh, dari matriks $P$ dan $Q$ di atas:

   $P-Q = \begin{bmatrix} 6 & 4 \\ 4 & 3 \end{bmatrix}$

   Sedangkan,

   $$Q-P = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 4 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ 3 & 7 \end{bmatrix}$$

   $$= \begin{bmatrix} 2-8 & 1-5 \\ -1-3 & 4-7 \end{bmatrix}$$

   $$= \begin{bmatrix} -6 & -4 \\ -4 & -3 \end{bmatrix}$$

   Terlihat jelas bahwa $P-Q \neq Q-P$.

2. Tidak Asosiatif: Pengelompokan dalam pengurangan tiga matriks atau lebih juga berpengaruh pada hasil akhir. Secara umum, $(A - B) - C$ tidak sama dengan $A - (B - C)$.

   $$(A - B) - C \neq A - (B - C) \quad (\text{secara umum})$$

   Ini karena $(A - B) - C = A - B - C$, sedangkan $A - (B - C) = A - B + C$.

Satu-satunya "sifat" yang penting untuk diingat adalah hubungannya dengan penjumlahan, yaitu $A - B = A + (-B)$.

Dengan mengubah operasi pengurangan menjadi penjumlahan dengan matriks lawan, kita dapat memanfaatkan sifat-sifat penjumlahan jika diperlukan.

Latihan

Soal 1

Diketahui matriks-matriks berikut:

Tentukan hasil dari $M-N$.

Soal 2

Tentukan nilai $x, y,$ dan $z$ dari persamaan matriks berikut:

Soal 3

Diberikan tiga matriks:

Hitunglah $(A-B)-C$ dan $A-(B-C)$. Apakah hasilnya sama?

Kunci Jawaban

Soal 1

Diketahui:

Maka, $M-N$ adalah:

Soal 2

Diketahui persamaan matriks:

Lakukan operasi pengurangan pada ruas kiri:

Berdasarkan kesamaan dua matriks, elemen-elemen yang seletak harus sama:

Dari elemen baris 1,kolom 1: $2x-3 = 5$

Dari elemen baris 1, kolom 2: $7-z = 10$

Dari elemen baris 2, kolom 1: $y-5 = -3$

Dari elemen baris 2, kolom 2: $5+2x = 1$.

Jika kita substitusikan $x=4$ (dari persamaan pertama), kita dapatkan $5+2(4) = 13$. Karena $13 \neq 1$, terdapat inkonsistensi pada elemen terakhir di soal ini.

Untuk tujuan pembelajaran, kita akan menggunakan nilai $x, y, z$ yang diperoleh dari tiga persamaan pertama yang konsisten.

Jadi, nilai yang diperoleh adalah $x=4$, $y=2$, dan $z=-3$.

Dalam situasi ujian, inkonsistensi seperti ini sebaiknya dikonfirmasi kepada pengawas.

Soal 3

Diberikan:

Hitung $(A-B)-C$:

Pertama, $A-B$:

Kemudian, $(A-B)-C$:

Hitung $A-(B-C)$:

Pertama, $B-C$:

Kemudian, $A-(B-C)$:

Hasilnya tidak sama: $\begin{bmatrix} 2 & 2 \\ -7 & 3 \end{bmatrix} \neq \begin{bmatrix} -6 & 2 \\ -3 & -3 \end{bmatrix}$.

Ini menunjukkan bahwa pengurangan matriks tidak bersifat asosiatif.