Determinan Matriks

Memahami Determinan Matriks

Determinan matriks adalah sebuah nilai skalar (angka tunggal) yang dapat dihitung dari elemen-elemen sebuah matriks persegi. Konsep determinan sangat penting dalam aljabar linear, salah satunya adalah untuk membantu menyelesaikan sistem persamaan linear. Setiap matriks persegi memiliki nilai determinan yang unik.

Menghitung Determinan Matriks Ordo 2x2

Matriks ordo 2x2 adalah matriks yang memiliki dua baris dan dua kolom. Misalkan kita memiliki matriks A sebagai berikut:

Determinan dari matriks A, yang biasa ditulis sebagai $\det(A)$ atau $|A|$, dihitung dengan mengurangkan hasil perkalian elemen-elemen diagonal utama dengan hasil perkalian elemen-elemen diagonal kedua.

Rumusnya adalah:

Perhatikan bahwa notasi $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$ menggunakan garis lurus, yang menandakan determinan, berbeda dengan kurung siku $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ yang menandakan matriks itu sendiri.

Perhitungan Determinan Matriks 2x2

Misalkan kita memiliki matriks B:

Untuk menghitung determinannya, kita identifikasi $a = -1$, $b = 3$, $c = -7$, dan $d = -5$.

Maka, determinan matriks B adalah:

Jadi, nilai determinan dari matriks B adalah 26.

Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) dengan Determinan

Salah satu aplikasi penting dari determinan adalah untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Metode ini sering disebut sebagai Aturan Cramer.

Perhatikan sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) berikut:

Dalam sistem ini, $x$ dan $y$ adalah variabel yang ingin kita cari nilainya. Koefisien-koefisien $a_{11}, a_{12}, a_{21}, a_{22}$ dan konstanta $b_1, b_2$ adalah bilangan yang diketahui.

Sistem persamaan ini dapat kita ubah ke dalam bentuk perkalian matriks:

Langkah pertama adalah menghitung determinan dari matriks koefisien, yang kita sebut $D$:

Sistem persamaan linear akan memiliki solusi unik jika dan hanya jika $D \neq 0$.

Selanjutnya, kita hitung dua determinan lainnya:

1. $D_x$, yaitu determinan matriks koefisien di mana kolom pertama (koefisien $x$) diganti dengan kolom konstanta ($b_1, b_2$ ):

   $$D_x = \begin{vmatrix} b_1 & a_{12} \\ b_2 & a_{22} \end{vmatrix} = b_1a_{22} - a_{12}b_2$$

2. $D_y$, yaitu determinan matriks koefisien di mana kolom kedua (koefisien $y$) diganti dengan kolom konstanta ($b_1, b_2$ ):

   $$D_y = \begin{vmatrix} a_{11} & b_1 \\ a_{21} & b_2 \end{vmatrix} = a_{11}b_2 - b_1a_{21}$$

Setelah mendapatkan nilai $D$, $D_x$, dan $D_y$, kita dapat menemukan nilai $x$ dan $y$ dengan rumus:

Rumus ini hanya berlaku jika $D \neq 0$.

Penyelesaian SPLDV dengan Determinan

Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut:

Dari sistem di atas, kita dapatkan:

$a_{11} = 2$, $a_{12} = -1$, $b_1 = 7$

$a_{21} = 1$, $a_{22} = -4$, $b_2 = 14$

Langkah 1: Hitung determinan $D$.

Karena $D = -7 \neq 0$, sistem ini memiliki solusi unik.

Langkah 2: Hitung determinan $D_x$.

Langkah 3: Hitung determinan $D_y$.

Langkah 4: Hitung nilai $x$ dan $y$.

Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear tersebut adalah $x=2$ dan $y=-3$, atau dapat ditulis sebagai pasangan berurutan $(2, -3)$.

Latihan

1. Diketahui matriks $M = \begin{bmatrix} 9 & x \\ 8 & -7 \end{bmatrix}$ dan $\det(M) = 9$. Tentukan nilai $x$.

2. Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut:

   $$\begin{cases} 2x - y = 8 \\ x + 3y = -10 \end{cases}$$

Kunci Jawaban

1. Untuk matriks $M = \begin{bmatrix} 9 & x \\ 8 & -7 \end{bmatrix}$, determinannya adalah:

   $$\det(M) = (9 \times -7) - (x \times 8) = -63 - 8x$$

   Diketahui $\det(M) = 9$, maka:

   $$-63 - 8x = 9$$

   $$-8x = 9 + 63$$

   $$-8x = 72$$

   $$x = \frac{72}{-8}$$

   $$x = -9$$

   Jadi, nilai $x$ adalah -9.

2. Sistem persamaan linear:

   $$2x - y = 8$$

   $$x + 3y = -10$$

   Kita tentukan $D, D_x,$ dan $D_y$.

   $$D = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = (2 \times 3) - (-1 \times 1) = 6 - (-1) = 6 + 1 = 7$$

   $$D_x = \begin{vmatrix} 8 & -1 \\ -10 & 3 \end{vmatrix} = (8 \times 3) - (-1 \times -10) = 24 - 10 = 14$$

   $$D_y = \begin{vmatrix} 2 & 8 \\ 1 & -10 \end{vmatrix} = (2 \times -10) - (8 \times 1) = -20 - 8 = -28$$

   Maka, nilai $x$ dan $y$ adalah:

   $$x = \frac{D_x}{D} = \frac{14}{7} = 2$$

   $$y = \frac{D_y}{D} = \frac{-28}{7} = -4$$

   Jadi, penyelesaian dari sistem persamaan linear tersebut adalah $x=2$ dan $y=-4$, atau pasangan berurutan $(2, -4)$.