Perkalian Matriks

Memahami Perkalian Dua Matriks

Perkalian matriks adalah operasi fundamental dalam aljabar linear. Berbeda dengan penjumlahan atau pengurangan matriks yang elemennya langsung dioperasikan, perkalian matriks memiliki aturan tersendiri.

Syarat Perkalian Matriks

Dua matriks, katakanlah matriks $A$ dan matriks $B$ , dapat dikalikan ( $A \times B$ ) hanya jika jumlah kolom pada matriks $A$ sama dengan jumlah baris pada matriks $B$ .

Misalkan matriks $A$ memiliki ordo $m \times n$ (artinya $m$ baris dan $n$ kolom) dan matriks $B$ memiliki ordo $n \times p$ (artinya $n$ baris dan $p$ kolom).

Karena jumlah kolom matriks $A$ ( $n$ ) sama dengan jumlah baris matriks $B$ ( $n$ ), maka matriks $A$ dan $B$ dapat dikalikan.

Hasil perkaliannya, sebut saja matriks $C = AB$ , akan memiliki ordo $m \times p$ .

Cara Menghitung Elemen Hasil Perkalian

Elemen $c_{ij}$ pada matriks $C$ (yaitu elemen pada baris ke- $i$ dan kolom ke- $j$ ) dihitung dengan mengalikan setiap elemen pada baris ke- $i$ dari matriks $A$ dengan elemen yang bersesuaian pada kolom ke- $j$ dari matriks $B$ , kemudian menjumlahkan semua hasil perkalian tersebut.

Secara matematis, jika $A = [a_{ik}]$ dan $B = [b_{kj}]$ , maka elemen $c_{ij}$ dari matriks $C = AB$ adalah:

c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \dots + a_{in}b_{nj}

Notasi $\sum$ (sigma) berarti penjumlahan.

Dalam rumus di atas, kita menjumlahkan hasil perkalian $a_{ik}b_{kj}$ untuk semua nilai $k$ dari 1 sampai $n$ .

Langkah-Langkah Mengalikan Matriks

Mari kita lihat contoh sederhana untuk memahami prosesnya.

Misalkan kita punya matriks $P = \begin{bmatrix} p_{11} & p_{12} \\ p_{21} & p_{22} \end{bmatrix}$ dan $Q = \begin{bmatrix} q_{11} & q_{12} \\ q_{21} & q_{22} \end{bmatrix}$ .

Matriks $P$ berordo $2 \times 2$ dan matriks $Q$ juga berordo $2 \times 2$ . Jumlah kolom $P$ (yaitu 2) sama dengan jumlah baris $Q$ (yaitu 2), jadi kita bisa mengalikannya. Hasilnya, $R = PQ$ , akan berordo $2 \times 2$ .

R = \begin{bmatrix} r_{11} & r_{12} \\ r_{21} & r_{22} \end{bmatrix}

Elemen-elemen matriks $R$ dihitung sebagai berikut:

r_{11} = (\text{baris 1 dari } P) \cdot (\text{kolom 1 dari } Q) = p_{11}q_{11} + p_{12}q_{21}

r_{12} = (\text{baris 1 dari } P) \cdot (\text{kolom 2 dari } Q) = p_{11}q_{12} + p_{12}q_{22}

r_{21} = (\text{baris 2 dari } P) \cdot (\text{kolom 1 dari } Q) = p_{21}q_{11} + p_{22}q_{21}

r_{22} = (\text{baris 2 dari } P) \cdot (\text{kolom 2 dari } Q) = p_{21}q_{12} + p_{22}q_{22}

Contoh Perkalian Dua Matriks

Diberikan dua matriks:

A = \begin{bmatrix} -7 & 2 & -2 \\ 1 & 0 & -1 \\ 2 & 3 & -1 \end{bmatrix}

B = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}

Matriks $A$ berordo $3 \times 3$ dan matriks $B$ berordo $3 \times 2$ .

Jumlah kolom matriks $A$ (yaitu 3) sama dengan jumlah baris matriks $B$ (yaitu 3).

Jadi, $AB$ dapat dihitung dan akan menghasilkan matriks berordo $3 \times 2$ .

Mari kita hitung $C = AB$ :

C = \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \\ c_{31} & c_{32} \end{bmatrix}

c_{11} = (-7)(1) + (2)(-1) + (-2)(2) = -7 - 2 - 4 = -13

c_{12} = (-7)(2) + (2)(3) + (-2)(0) = -14 + 6 + 0 = -8

c_{21} = (1)(1) + (0)(-1) + (-1)(2) = 1 + 0 - 2 = -1

c_{22} = (1)(2) + (0)(3) + (-1)(0) = 2 + 0 + 0 = 2

c_{31} = (2)(1) + (3)(-1) + (-1)(2) = 2 - 3 - 2 = -3

c_{32} = (2)(2) + (3)(3) + (-1)(0) = 4 + 9 + 0 = 13

Jadi, hasil perkalian matriks $AB$ adalah:

AB = \begin{bmatrix} -13 & -8 \\ -1 & 2 \\ -3 & 13 \end{bmatrix}

Sekarang, bagaimana dengan $BA$ ?

Matriks $B$ berordo $3 \times 2$ dan matriks $A$ berordo $3 \times 3$ .

Jumlah kolom matriks $B$ (yaitu 2) tidak sama dengan jumlah baris matriks $A$ (yaitu 3).

Oleh karena itu, perkalian $BA$ tidak terdefinisi. Ini menunjukkan salah satu sifat penting perkalian matriks.

Sifat-Sifat Perkalian Matriks

Perkalian matriks memiliki beberapa sifat penting:

Umumnya Tidak Komutatif:

Artinya, $AB \neq BA$ . Kita sudah melihat contoh di atas di mana $AB$ terdefinisi tetapi $BA$ tidak. Bahkan jika keduanya terdefinisi, hasilnya belum tentu sama.
Asosiatif:

Jika perkalian matriks $A, B,$ dan $C$ terdefinisi, maka berlaku $(AB)C = A(BC)$ . Artinya, urutan pengelompokan perkalian tidak mengubah hasil akhir.
Distributif:

Perkalian matriks bersifat distributif terhadap penjumlahan atau pengurangan matriks:

$A(B + C) = AB + AC$
$(A + B)C = AC + BC$

Ini berlaku jika semua operasi penjumlahan dan perkalian yang terlibat terdefinisi.
Perkalian dengan Matriks Identitas ( $I$ ):

Jika $A$ adalah matriks persegi berordo $n \times n$ dan $I$ adalah matriks identitas berordo $n \times n$ , maka berlaku:

$AI = IA = A$

Matriks identitas berperan seperti angka 1 dalam perkalian bilangan biasa.
Perkalian dengan Skalar ( $k$ ):

Jika $k$ adalah sebuah skalar (bilangan riil), maka:

$k(AB) = (kA)B = A(kB)$

Menghitung Pendapatan

Perkalian matriks sangat berguna dalam berbagai bidang, salah satunya untuk mengelola data dan menghitung nilai agregat.

Bayangkan sebuah industri rumahan memproduksi tiga jenis makanan: keripik tempe, keripik pisang, dan keripik kentang.

Makanan tersebut dipasarkan ke tiga tempat: Tempat A, Tempat B, dan Tempat C.

Banyaknya keripik (dalam toples) yang terjual di setiap tempat disajikan dalam matriks $P$ . Kolom-kolom pada matriks $P$ berturut-turut menunjukkan Tempat A, Tempat B, dan Tempat C, sedangkan baris-barisnya berturut-turut menunjukkan keripik tempe, keripik pisang, dan keripik kentang.

P = \begin{bmatrix} 15 & 12 & 20 \\ 25 & 10 & 15 \\ 15 & 15 & 20 \end{bmatrix} \begin{matrix} \text{Keripik Tempe} \\ \text{Keripik Pisang} \\ \text{Keripik Kentang} \end{matrix}

Baris pertama ( $\begin{bmatrix} 15 & 12 & 20 \end{bmatrix}$ ) berarti 15 toples keripik tempe terjual di Tempat A, 12 di Tempat B, dan 20 di Tempat C.

Harga untuk setiap toples keripik (dalam rupiah) dinyatakan dalam matriks kolom $Q$ berikut:

Q = \begin{bmatrix} 20.000 \\ 15.000 \\ 30.000 \end{bmatrix} \begin{matrix} \text{Harga Keripik Tempe} \\ \text{Harga Keripik Pisang} \\ \text{Harga Keripik Kentang} \end{matrix}

Untuk menentukan total pendapatan dari setiap jenis keripik di semua tempat, kita bisa mengalikan matriks $P$ dengan matriks $Q$ .

Namun, perhatikan ordo matriks. Matriks $P$ berordo $3 \times 3$ dan matriks $Q$ berordo $3 \times 1$ . Jumlah kolom $P$ (3) sama dengan jumlah baris $Q$ (3), sehingga $PQ$ dapat dihitung dan akan menghasilkan matriks $R$ berordo $3 \times 1$ .

Matriks $R = PQ$ akan menunjukkan total pendapatan untuk setiap jenis keripik.

R = PQ = \begin{bmatrix} 15 & 12 & 20 \\ 25 & 10 & 15 \\ 15 & 15 & 20 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 20.000 \\ 15.000 \\ 30.000 \end{bmatrix}

R = \begin{bmatrix} (15)(20.000) + (12)(15.000) + (20)(30.000) \\ (25)(20.000) + (10)(15.000) + (15)(30.000) \\ (15)(20.000) + (15)(15.000) + (20)(30.000) \end{bmatrix}

R = \begin{bmatrix} 300.000 + 180.000 + 600.000 \\ 500.000 + 150.000 + 450.000 \\ 300.000 + 225.000 + 600.000 \end{bmatrix}

R = \begin{bmatrix} 1.080.000 \\ 1.100.000 \\ 1.125.000 \end{bmatrix} \begin{matrix} \text{Total Pendapatan Keripik Tempe} \\ \text{Total Pendapatan Keripik Pisang} \\ \text{Total Pendapatan Keripik Kentang} \end{matrix}

Dari matriks $R$ , kita bisa melihat bahwa total pendapatan dari penjualan keripik tempe adalah Rp1.080.000, keripik pisang Rp1.100.000, dan keripik kentang Rp1.125.000.

Jika pertanyaannya adalah "tentukan matriks pendapatan untuk setiap tempat", maka kita perlu mengatur matriks harga $Q$ secara berbeda atau melakukan perkalian dengan transpos dari $P$ .

Misalkan kita ingin mencari total pendapatan di Tempat A, Tempat B, dan Tempat C. Kita bisa menggunakan matriks harga sebagai matriks baris $Q^T = \begin{bmatrix} 20.000 & 15.000 & 30.000 \end{bmatrix}$ dan mengalikannya dengan matriks $P$ : $S = Q^T P$ .

Matriks $Q^T$ berordo $1 \times 3$ dan $P$ berordo $3 \times 3$ . Hasilnya $S$ akan berordo $1 \times 3$ .

S = \begin{bmatrix} 20.000 & 15.000 & 30.000 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 15 & 12 & 20 \\ 25 & 10 & 15 \\ 15 & 15 & 20 \end{bmatrix}

s_{11} = (20.000)(15) + (15.000)(25) + (30.000)(15) = 300.000 + 375.000 + 450.000 = 1.125.000

s_{12} = (20.000)(12) + (15.000)(10) + (30.000)(15) = 240.000 + 150.000 + 450.000 = 840.000

s_{13} = (20.000)(20) + (15.000)(15) + (30.000)(20) = 400.000 + 225.000 + 600.000 = 1.225.000

Maka, $S = \begin{bmatrix} 1.125.000 & 840.000 & 1.225.000 \end{bmatrix}$ .

Ini berarti total pendapatan dari Tempat A adalah Rp1.125.000, dari Tempat B adalah Rp840.000, dan dari Tempat C adalah Rp1.225.000.

Interpretasi elemen matriks hasil perkalian sangat bergantung pada bagaimana matriks awal didefinisikan dan bagaimana perkalian dilakukan.

Latihan

Diberikan matriks-matriks berikut:

C = \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}

D = \begin{bmatrix} 1 & -4 \\ 8 & 2 \end{bmatrix}

Tentukan matriks $CD$ dan matriks $DC$ .

Apakah $CD = DC$ ?

Kunci Jawaban

Menghitung $CD$ :

Matriks $C$ berordo $2 \times 2$ dan $D$ berordo $2 \times 2$ . Hasilnya akan berordo $2 \times 2$ .

$CD = \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -4 \\ 8 & 2 \end{bmatrix}$
$CD = \begin{bmatrix} (1)(1) + (-3)(8) & (1)(-4) + (-3)(2) \\ (1)(1) + (2)(8) & (1)(-4) + (2)(2) \end{bmatrix}$
$CD = \begin{bmatrix} 1 - 24 & -4 - 6 \\ 1 + 16 & -4 + 4 \end{bmatrix}$
$CD = \begin{bmatrix} -23 & -10 \\ 17 & 0 \end{bmatrix}$
Menghitung $DC$ :

Matriks $D$ berordo $2 \times 2$ dan $C$ berordo $2 \times 2$ . Hasilnya akan berordo $2 \times 2$ .

$DC = \begin{bmatrix} 1 & -4 \\ 8 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$
$DC = \begin{bmatrix} (1)(1) + (-4)(1) & (1)(-3) + (-4)(2) \\ (8)(1) + (2)(1) & (8)(-3) + (2)(2) \end{bmatrix}$
$DC = \begin{bmatrix} 1 - 4 & -3 - 8 \\ 8 + 2 & -24 + 4 \end{bmatrix}$
$DC = \begin{bmatrix} -3 & -11 \\ 10 & -20 \end{bmatrix}$

Dari hasil di atas, terlihat bahwa $CD = \begin{bmatrix} -23 & -10 \\ 17 & 0 \end{bmatrix}$ dan $DC = \begin{bmatrix} -3 & -11 \\ 10 & -20 \end{bmatrix}$ .

Jadi, $CD \neq DC$ . Ini adalah contoh lain yang menunjukkan bahwa perkalian matriks umumnya tidak bersifat komutatif.

Command Palette